Eşdeğer harita - Equiareal map

Olarak diferansiyel geometri , bir equiareal harita (veya equiareal harita ) a, düz harita itibaren yüzeyi koruyan başka alanlar rakamlar.

Özellikleri

Eğer M ve K iki yüzeyleri Öklid alan R ³ , daha sonra bir eş-alansal harita f eşdeğer aşağıdaki koşullardan herhangi biri ile karakterize edilebilir:

• Yüzey alanı arasında f ( U ) alanına eşit olan U , her için açık set u ile M .
• Geri çekilme ve alan elemanı μ _N üzerinde N eşittir u _M , ilgili alan elemanı M .
• Her bir noktada p ve M , ve tanjant vektörler v ve w için M de p ,

${\ displaystyle | df_ {p} (v) \ kere df_ {p} (w) | = | v \ kere w | \,}$

Burada ×, vektörlerin Öklid çapraz çarpımını ve df , f boyunca ileri itmeyi belirtir .

Misal

Syracuse Arşimetinden kaynaklanan bir eşit alan haritasına bir örnek, x ² + y ² + z ² = 1 birim küresinden ortak eksenlerinden dışa doğru x ² + y ² = 1 birim silindirine izdüşümdür . Açık bir formül

${\ displaystyle f (x, y, z) = \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}, {\ frac {y} {\ sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}}, z \ sağ)}$

( x , y , z ) için birim küre üzerinde bir nokta.

Doğrusal dönüşümler

Her Öklit izometrisi ait Öklid düzleminde equiareal olmakla tersi doğru değildir. Aslında, kesme haritalama ve sıkma haritalama , tersine örneklerdir.

Yamultma eşleme, bir dikdörtgeni aynı alanın bir paralelkenarına götürür. Matris biçiminde yazılmış, x ekseni boyunca bir kayma eşlemesi

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} x + vy \\ y \ end {pmatrix}}.}$

Sıkıştırılmış eşleme, bir dikdörtgenin kenarlarını karşılıklı olarak uzatır ve daraltır, böylece alan korunur. Matris formunda yazıldığında, λ> 1 ile sıkıştırma okur

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ lambda & 0 \\ 0 & 1 / \ lambda \ end {pmatrix}} \, {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ lambda x \\ y / \ lambda. \ end {pmatrix}}}$

Lineer bir transformasyon ile çarpar alanlar mutlak değer onun bir belirleyici | reklam - bc | . ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}$

Gauss eliminasyonu , her eşitlik doğrusal dönüşümün ( dönmeler dahil) eksenler boyunca en fazla iki kesme, bir sıkıştırma ve (determinant negatifse) bir yansıma oluşturarak elde edilebileceğini gösterir .

Harita projeksiyonlarında

Bağlamında coğrafi haritalar , bir harita projeksiyon denir eşit alan , denk , otalik , equiareal veya alan koruyucu alanlar sabit bir faktör kadar korunur ise; Genellikle bir alt kümesi olarak kabul hedef haritayı yerleştirerek R ² belirgin şekilde R ³ , yukarıdaki gereksinimi için zayıflar:

${\ displaystyle | df_ {p} (v) \ kere df_ {p} (w) | = \ kappa | v \ kere w |}$

bazıları için κ > 0'a bağlı değil ve . Bu tür projeksiyon örnekleri için eşit alanlı harita projeksiyonuna bakın . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle w}$

Ayrıca bakınız

• Jacobian matrisi ve determinantı

Referanslar

• Pressley, Andrew (2001), Temel diferansiyel geometri , Springer Lisans Matematik Serisi, Londra: Springer-Verlag, ISBN   978-1-85233-152-8 , MR   1800436