Alan - Area

Alan
Ortak semboller
A
SI birimi Metrekare [m 2 ]
İçinde temel SI birimleri m 2
Boyut
Kare bir ızgara üzerinde üç şekil
Bu üç birleşik alan şekilleri olan yaklaşık 15.57 kareler .

Konum olan miktarı bir ölçüde ifade iki boyutlu bölgesi , şekil , ya da düzlemsel lamina olarak, düzlem . Yüzey alanı , iki boyutlu ile analogu olan yüzeyi bir bölgesinin üç boyutlu bir nesnenin . Alan, şeklin bir modelini biçimlendirmek için gerekli olacak belirli bir kalınlığa sahip malzeme miktarı veya yüzeyi tek bir kat ile kaplamak için gerekli boya miktarı olarak anlaşılabilir . Bir eğrinin uzunluğunun (tek boyutlu bir kavram) veya bir katının hacminin (üç boyutlu bir kavram) iki boyutlu analoğudur .

Bir şeklin alanı, şekli sabit bir boyuttaki karelerle karşılaştırarak ölçülebilir . Gelen Uluslararası Birim Sistemi (SI), bölgenin standart birimidir metrekare (m olarak yazılır 2 taraf vardır, bir karenin alanıdır), sayaç uzunluğundadır. Alanı üç metrekare olan bir şekil, bu tür üç kare ile aynı alana sahip olacaktır. Gelen matematik , birim kare alanı biri için tanımlandığı gibidir, ve herhangi bir başka şekle ya da yüzey alanı olan bir boyutsuz reel sayı .

Bu kare ve bu diskin her ikisi de aynı alana sahiptir (bkz: dairenin karesini alma ).

Üçgen , dikdörtgen ve daire gibi basit şekillerin alanları için iyi bilinen birkaç formül vardır . Bu formülleri kullanarak, herhangi bir çokgenin alanı , çokgen üçgenlere bölünerek bulunabilir . Eğri sınırı olan şekiller için, alanı hesaplamak için genellikle kalkülüs gerekir. Gerçekten de, düzlem şekillerin alanını belirleme sorunu , kalkülüsün tarihsel gelişimi için büyük bir motivasyondu .

Küre , koni veya silindir gibi katı bir şekil için, sınır yüzeyinin alanına yüzey alanı denir . Basit şekillerin yüzey alanları için formüller eski Yunanlılar tarafından hesaplandı , ancak daha karmaşık bir şeklin yüzey alanını hesaplamak genellikle çok değişkenli hesap gerektirir .

Alan, modern matematikte önemli bir rol oynar. Bu açık önemine ilave olarak geometri ve taşların, alan tanımı ile ilgilidir belirleyicileri olarak lineer cebir ve yüzeyler arasında temel bir özelliğidir diferansiyel geometri . Olarak analiz , düzlem bir alt alanı kullanılarak tanımlanır Lebesgue ölçümünü olup her alt küme ölçülebilir da,. Genel olarak, yüksek matematikte alan, iki boyutlu bölgeler için özel bir hacim durumu olarak görülür.

Alan, aksiyomların kullanılmasıyla tanımlanabilir, onu gerçek sayılar kümesine belirli düzlem şekillerinin bir koleksiyonunun bir fonksiyonu olarak tanımlar. Böyle bir fonksiyonun varlığı ispatlanabilir.

Resmi tanımlama

"Alan" ile ne kastedildiğini tanımlamaya yönelik bir yaklaşım aksiyomlardır . "Alan", özel türdeki düzlem şekillerinin (ölçülebilir kümeler olarak adlandırılır) M koleksiyonundan, aşağıdaki özellikleri karşılayan gerçek sayılar kümesine bir fonksiyon olarak tanımlanabilir:

  • Tüm için S olarak M , bir ( S ) ≥ 0.
  • Eğer S ve T içindedir M o zaman olan ST ve ST ve aynı zamanda bir ( ST ) = bir ( S ) + , bir ( T -) bir ( ST ).
  • Eğer S ve T içindedir M ile ST daha sonra , T - S olan M ve bir ( T - S ) = bir ( T ) - bir ( S ).
  • Bir dizi halinde S olan M ve S ile uyumlu olan T daha sonra , T de olduğu M ve bir ( S ) = bir ( T ).
  • Her dikdörtgen R , M içindedir . Dikdörtgen uzunluğu varsa h ve genişliği k sonra bir ( R ) = hk .
  • Q , iki adım bölgesi S ve T arasında bir küme olsun . Bir ortak taban üzerinde, yani SQT üzerinde duran bitişik dikdörtgenlerin sonlu birleşiminden bir adım bölgesi oluşturulur . Özel bir numara varsa c böyle bir ( S ) ≤ c ≤ bir ( T tüm bu adım bölgeler için) S ve T , sonra da bir ( S ) = C .

Böyle bir alan fonksiyonunun gerçekten var olduğu kanıtlanabilir.

Birimler

Çim üzerinde PVC borudan yapılmış bir kare
Bir metrekare kuadrat PVC boru yaptı.

Her uzunluk birimi karşılık gelen bir alan birimine, yani belirli bir kenar uzunluğuna sahip bir karenin alanına sahiptir. Böylece alanlar metrekare (m 2 ), santimetre kare (cm 2 ), milimetre kare (mm 2 ), kilometre kare (km 2 ), fit kare (ft 2 ), yard kare (yd 2 ), mil kare olarak ölçülebilir. (mi 2 ) vb. Cebirsel olarak, bu birimler karşılık gelen uzunluk birimlerinin kareleri olarak düşünülebilir .

SI alan birimi, SI türetilmiş bir birim olarak kabul edilen metrekaredir .

Dönüşümler

Farklı alanlar arasındaki dönüştürme faktörünü gösteren bir diyagram
1 cm'de 10 mm olmasına rağmen 1 cm 2'de 100 mm 2 vardır .

Uzunluğu ve genişliği 1 metre olan bir karenin alanının hesaplanması şöyle olur:

1 metre × 1 metre = 1 m 2

ve böylece, kenarları farklı olan bir dikdörtgenin (3 metre uzunluğunda ve 2 metre genişliğinde) bir alanı kare birimler halinde şu şekilde hesaplanabilir:

3 metre × 2 metre = 6 m 2 . Bu, 6 milyon milimetre kareye eşittir. Diğer faydalı dönüşümler şunlardır:

  • 1 kilometre kare = 1.000.000 metrekare
  • 1 metrekare = 10.000 santimetre kare = 1.000.000 milimetre kare
  • 1 santimetre kare = 100 milimetre kare.

Metrik olmayan birimler

Metrik olmayan birimlerde, iki kare birim arasındaki dönüşüm, karşılık gelen uzunluk birimleri arasındaki dönüşümün karesidir .

1 ayak = 12 inç ,

fit kare ve inç kare arasındaki ilişki

1 fit kare = 144 inç kare,

burada 144 = 12 2 = 12 × 12. Benzer şekilde:

  • 1 yard kare = 9 fit kare
  • 1 mil kare = 3.097.600 yard kare = 27.878.400 fit kare

Ek olarak, dönüştürme faktörleri şunları içerir:

  • 1 inç kare = 6.4516 santimetre kare
  • 1 fit kare = 0.092 903 04 metrekare
  • 1 yard kare = 0.836 127 36 metrekare
  • 1 mil kare = 2.589 988 110 336 kilometre kare

Tarihsel dahil diğer birimler

Alan için birkaç ortak birim daha vardır. Are alanın orijinal birimi metrik sisteme sahip:

  • 1 = 100 metrekare

Kullanımdan düşmüş olsa da, hektar , araziyi ölçmek için hala yaygın olarak kullanılmaktadır:

  • 1 hektar = 100 ares = 10.000 metrekare = 0.01 kilometre kare

Bölgenin diğer nadir metrik birimler şunlardır tetrad , hectad ve sayısız .

Dönümlük da yaygın arazi alanları ölçmek için kullanılır, burada

  • 1 dönüm = 4840 yard kare = 43,560 fit kare.

Bir dönüm, bir hektarın yaklaşık %40'ıdır.

Atomik ölçekte, alan ahır birimlerinde ölçülür , öyle ki:

  • 1 ahır = 10 −28 metrekare.

Ahır, nükleer fizikte etkileşimin kesit alanını tanımlamak için yaygın olarak kullanılır .

In India ,

  • 20 dhurki = 1 dhur
  • 20 gün = 1 hatha
  • 20 khata = 1 bigha
  • 32 khata = 1 dönüm

Tarih

daire alanı

5. yy M.Ö. yılında Sakız Hipokrat bir disk (yuvarlak içerisine bölge) alanı onun bir parçası olarak, kendi çapının karesiyle orantılı olduğunu göstermek için ilk dördün arasında Hipokrat Haziran gününü , ancak yaptılar orantılılık sabitini tanımlamaz . Yine MÖ 5. yüzyılda Knidoslu Eudoxus da bir diskin alanının yarıçapının karesiyle orantılı olduğunu bulmuştur.

Daha sonra, Öklid'in Elementler Kitabı I, iki boyutlu şekiller arasındaki alanların eşitliği ile ilgilendi. Matematikçi Arşimet , Bir Dairenin Ölçülmesi adlı kitabında, bir dairenin içindeki alanın , tabanı dairenin çevresi kadar olan ve yüksekliği dairenin yarıçapına eşit olan bir dik üçgenin alanına eşit olduğunu göstermek için Öklid geometrisinin araçlarını kullandı . (Çevre 2 π r'dir ve bir üçgenin alanı, taban çarpı yüksekliğin yarısıdır, bu da disk için π r 2 alanını verir .) Arşimet, π değerini (ve dolayısıyla birim yarıçaplı bir dairenin alanını) yaklaşık olarak hesapladı. ) bir daireye düzenli bir üçgen çizdiği ve alanını not ettiği, ardından düzgün bir altıgen vermek için kenar sayısını ikiye katladığı, daha sonra çokgenin alanı buna yaklaştıkça kenar sayısını tekrar tekrar ikiye katladığı ikiye katlama yöntemiyle (ve aynı şeyi sınırlı çokgenler için de yaptı ).

1761'de İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert , bir dairenin alanının yarıçapının karesine oranı olan π'nin irrasyonel olduğunu , yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı . 1794'te Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre , π 2'nin irrasyonel olduğunu kanıtladı ; bu da π'nin irrasyonel olduğunu kanıtlar. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann , π'nin aşkın olduğunu ( rasyonel katsayılara sahip herhangi bir polinom denkleminin çözümü olmadığını) kanıtlayarak hem Legendre hem de Euler tarafından yapılan bir varsayımı doğruladı .

üçgen alan

İskenderiyeli Heron (veya Kahraman) , kenarları açısından bir üçgenin alanı için Heron formülü olarak bilinen şeyi buldu ve MS 60 civarında yazılmış olan Metrica adlı kitabında bir kanıt bulunabilir . İleri sürülmüştür Arşimet iki yüzyıl önce üzerinde formülünü biliyordu ve beri Metrica antik dünyada mevcut matematiksel bilginin bir koleksiyon, formül bu işin verilen referansı eskidir mümkündür.

499 olarak Aryabhata , büyük matematikçi - astronomi klasik yaş Hint matematik ve Hint astronomi , bir buçuk baz kat yüksekliği olarak bir üçgen alanı ifade Aryabhatiya (bölüm 2.6).

Heron'unkine eşdeğer bir formül Çinliler tarafından Yunanlılardan bağımsız olarak keşfedildi. 1247'de Qin Jiushao tarafından yazılan Shushu Jiuzhang'da (" Dokuz Bölümde Matematiksel İnceleme ") yayınlandı .

dörtgen alan

7. yüzyılın olarak, Brahmagupta artık olarak bilinen bir formül, geliştirilmiş Brahmagupta formülü bir alan için, siklik dörtlü (bir dört kenarlı çizilebilen yanlarından açısından bir daire içinde). 1842'de Alman matematikçiler Carl Anton Bretschneider ve Karl Georg Christian von Staudt bağımsız olarak herhangi bir dörtgenin alanı için Bretschneider formülü olarak bilinen bir formül buldular .

Genel çokgen alanı

Gelişimi Kartezyen koordinatlarda tarafından René Descartes 17. yüzyılda geliştirilmesine imkan haritacılara ait formülü bilinen herhangi poligonun alanı için tepe tarafından yerle Gauss 19. yüzyılda.

Hesap kullanılarak belirlenen alanlar

Gelişimi integral hesabı 17. yüzyılda, daha sonra örneğin bir alan olarak daha karmaşık alanlar, hesaplanması için kullanılabilecek araçlar temin elips ve yüzey alanları , çeşitli eğri üç boyutlu nesnelerin.

Alan formülleri

çokgen formülleri

Kendiyle kesişmeyen ( basit ) bir çokgen için, n köşesi bilinen Kartezyen koordinatları ( i = 0, 1, ..., n -1) için alan sörveyör formülüyle verilir :

burada i = n -1 olduğunda, o zaman i +1 modül n olarak ifade edilir ve dolayısıyla 0'a atıfta bulunur.

dikdörtgenler

Uzunluk ve genişlik etiketli bir dikdörtgen
Bu dikdörtgenin alanı  lw'dir .

En temel alan formülü, bir dikdörtgenin alan formülüdür . Uzunluğu l ve genişliği w olan bir dikdörtgen verildiğinde , alan formülü şu şekildedir:

A = lw  (dikdörtgen).

Yani dikdörtgenin alanı uzunluk ile genişlik çarpımıdır. Özel bir durum olarak , bir kare durumunda l = w olarak, kenar uzunluğu s olan bir karenin alanı aşağıdaki formülle verilir:

A = s 2  (kare).

Bir dikdörtgenin alan formülü, doğrudan alanın temel özelliklerinden gelir ve bazen bir tanım veya aksiyom olarak alınır . Diğer taraftan, geometri önce geliştirilmiştir aritmetik , bu formül tanımlamak için kullanılabilir çarpma bölgesinin gerçek sayılar .

Diseksiyon, paralelkenarlar ve üçgenler

Alan için diğer basit formüllerin çoğu, diseksiyon yönteminden gelir . Bu, alanları orijinal şeklin alanına eşit olması gereken parçalara ayırmayı içerir .

Bir paralelkenarın nasıl yeniden dikdörtgen şeklinde düzenlenebileceğini gösteren bir diyagram.

Örneğin, herhangi bir paralelkenar , soldaki şekilde gösterildiği gibi, bir yamuk ve bir dik üçgene bölünebilir . Üçgen yamuğun diğer tarafına taşınırsa, ortaya çıkan şekil bir dikdörtgendir. Paralelkenarın alanının dikdörtgenin alanıyla aynı olduğu sonucu çıkar:

A = bh  (paralelkenar).
İki eşit üçgene bölünmüş bir paralelkenar.

Bununla birlikte, aynı paralel kenar da birlikte kesilmiş olabilir çapraz iki içine uyumlu sağa doğru, şekil de gösterildiği gibi, üçgen. Her üçgenin alanının paralelkenarın alanının yarısı olduğu sonucu çıkar:

 (üçgen).

Benzer argümanlar, yamuk ve daha karmaşık çokgenler için alan formülleri bulmak için kullanılabilir .

Eğri şekillerin alanı

Çevreler

Birçok sektöre bölünmüş bir daire, bir paralelkenar oluşturmak için kabaca yeniden düzenlenebilir.
Bir daire, yaklaşık bir paralelkenar oluşturacak şekilde yeniden düzenlenen sektörlere bölünebilir .

Bir dairenin alanı için formül (daha doğrusu bir daire tarafından çevrelenen alan veya bir diskin alanı olarak adlandırılır ) benzer bir yönteme dayanır. Yarıçapı r olan bir daire verildiğinde, daireyi sağdaki şekilde gösterildiği gibi sektörlere bölmek mümkündür . Her sektör yaklaşık olarak üçgen şeklindedir ve sektörler yaklaşık bir paralelkenar oluşturacak şekilde yeniden düzenlenebilir. Bu paralelkenarın yüksekliği r ve genişliği dairenin çevresinin yarısı veya π r'dir . Böylece dairenin toplam alanı π r 2 :

A = π r 2  (daire).

Bu formülde kullanılan diseksiyon sadece yaklaşık olsa da, daire giderek daha fazla sektöre bölündükçe hata küçülür ve küçülür. Sınırı yaklaşık paralel kenar alanlarında tam olarak π r 2 dairenin alanıdır.

Bu argüman aslında matematiğin fikirlerinin basit bir uygulamasıdır . Eski zamanlarda, tükenme yöntemi dairenin alanını bulmak için benzer bir şekilde kullanıldı ve bu yöntem şimdi integral hesabın öncüsü olarak kabul ediliyor . Modern yöntemler kullanılarak, bir dairenin alanı belirli bir integral kullanılarak hesaplanabilir :

Elipsler

Bir elips tarafından çevrelenen alan formülü, bir daire formülü ile ilgilidir; yarı büyük ve yarı küçük eksenleri x ve y olan bir elips için formül:

Yüzey alanı

Aynı yükseklik ve yarıçapa sahip bir silindirin içinde mavi bir küre
Arşimet , bir kürenin yüzey alanının , aynı yarıçapa sahip düz bir diskin alanının tam olarak dört katı olduğunu ve kürenin kapsadığı hacmin , aynı yükseklik ve yarıçaptaki bir silindirin hacminin tam olarak 2/3'ü olduğunu gösterdi .

Yüzey alanı için en temel formüller, yüzeyleri kesip düzleştirerek elde edilebilir. Örneğin, bir silindirin (veya herhangi bir prizmanın ) yan yüzeyi uzunlamasına kesilirse, yüzey bir dikdörtgen şeklinde düzleştirilebilir. Benzer şekilde, bir koninin kenarı boyunca bir kesim yapılırsa , yan yüzey bir daire dilimine düzleştirilebilir ve elde edilen alan hesaplanabilir.

Bir kürenin yüzey alanı formülünü elde etmek daha zordur: Bir küre sıfırdan farklı Gauss eğriliğine sahip olduğundan düzleştirilemez. Bir kürenin yüzey alanı formülü ilk olarak Arşimet tarafından Küre ve Silindir Üzerine adlı çalışmasında elde edilmiştir . Formül:

A = 4 πr 2  (küre),

burada r kürenin yarıçapıdır. Bir dairenin alanı formülünde olduğu gibi, bu formülün herhangi bir türevi, doğası gereği kalkülüse benzer yöntemler kullanır .

Genel formüller

2 boyutlu şekillerin alanları

üçgen alan
  • Bir üçgen : (burada B herhangi bir kenardır ve h , B'nin üzerinde bulunduğu çizgiden üçgenin diğer tepe noktasına olan mesafedir ). Bu formül, h yüksekliği biliniyorsa kullanılabilir. Üç kenarın uzunlukları biliniyorsa, Heron formülü kullanılabilir: burada a , b , c üçgenin kenarlarıdır ve çevresinin yarısıdır. Bir açı ve onun iki dahil kenarı verilmişse, alan, verilen açının C olduğu ve a ve b'nin de onun dahil olduğu kenarlar olduğu alandır . Üçgen bir koordinat düzleminde çizilirse, bir matris kullanılabilir ve mutlak değerine basitleştirilir . Bu formül aynı zamanda ayakkabı bağı formülü olarak da bilinir ve (x 1 ,y 1 ) , (x 2 ,y 2 ) ve (x 3 ,y ) noktalarını değiştirerek bir koordinat üçgeninin alanını bulmanın kolay bir yoludur. 3 ) . Ayakkabı bağı formülü, köşeleri bilindiğinde diğer çokgenlerin alanlarını bulmak için de kullanılabilir. Koordinat üçgeni için başka bir yaklaşım , alanı bulmak için hesabı kullanmaktır .
  • Bir Basit bir çokgen eşit mesafeli nokta, bir ızgara üzerinde inşa (yani olan noktalar tam sayı koordinatları) gibi tüm çokgenin köşe ızgara noktaları olduğu: , burada i çokgen ve iç ızgara noktaları sayısı b sınır noktalarının sayısı . Bu sonuç Pick teoremi olarak bilinir .

Hesaptaki alan

Verilen bir eğri ile x ekseni arasındaki alanı gösteren bir diyagram
Entegrasyon, iki nokta (burada a ve b ) arasında f ( x ) ile tanımlanan bir eğrinin altındaki alanın ölçülmesi olarak düşünülebilir .
İki fonksiyon arasındaki alanı gösteren bir diyagram
İki grafik arasındaki alan, iki fonksiyonun integralleri arasındaki fark hesaplanarak değerlendirilebilir.
  • İki değer arasında ölçülen bir pozitif-değerli eğri ve yatay eksen arasındaki bölge, bir ve b yatay bir eksen (b iki değerden daha büyük olarak tanımlanan) 'den entegrali ile verilir bir için b işlev bunun eğriyi temsil eder:
y değeri daha büyük olan eğri nerede .
  • Kutupsal koordinatlarda ifade edilen bir fonksiyonla sınırlanan alan:
  • Uç noktaları olan bir parametrik eğri tarafından çevrelenen alan , çizgi integralleri tarafından verilir :
veya z bileşeni
(Ayrıntılar için Green'in teoremi § Alan hesaplamasına bakın .) Bu, planimetre mekanik cihazının prensibidir .

İki ikinci dereceden fonksiyon arasındaki sınırlı alan

İki ikinci dereceden fonksiyon arasındaki sınırlı alanı bulmak için , farkı şu şekilde yazmak için birini diğerinden çıkarırız.

burada f ( x ) ikinci dereceden üst sınırdır ve g ( x ) ikinci dereceden alt sınırdır. Tanımlama diskriminant arasında f ( x -) g ( x ) olarak

İki fonksiyonun (yukarıdaki bölümde verildiği gibi) grafikleri arasındaki integral formülünü sadeleştirerek ve Vieta'nın formülünü kullanarak ,

Yukarıdakiler, sınırlayıcı işlevlerden biri ikinci dereceden değil doğrusal ise geçerli kalır.

3 boyutlu şekillerin yüzey alanı

  • Koni : burada r dairesel tabanın yarıçapıdır ve h yüksekliktir. Bu, r'nin yarıçap ve l' nin koninin eğik yüksekliği olduğu veya burada yeniden yazılabilir . taban alanı , koninin yan yüzey alanıdır.
  • küp : burada s bir kenarın uzunluğudur.
  • silindir : , burada r bir tabanın yarıçapı ve h yüksekliktir. 2 R aynı zamanda şu şekilde yeniden yazılabilir d , d çapıdır.
  • prizma : 2B + Ph, burada B bir tabanın alanıdır, P bir tabanın çevresidir ve h , prizmanın yüksekliğidir.
  • piramit : burada B tabanın alanıdır, P tabanın çevresidir ve L eğimin uzunluğudur.
  • dikdörtgen prizma : burada uzunluk, w genişlik ve h yüksekliktir.

Yüzey alanı için genel formül

Sürekli türevlenebilir bir fonksiyonun grafiğinin yüzey alanı için genel formül, burada ve xy-düzleminde düzgün sınıra sahip bir bölgedir:

Vektör formundaki bir parametrik yüzeyin grafiğinin alanı için daha da genel bir formül, burada sürekli türevlenebilir bir vektör fonksiyonu şudur:

formül listesi

Alan için ek ortak formüller:
Şekil formül Değişkenler
Dikdörtgen Rechteck-ab.svg
Üçgen Dreieck-allg-bh.svg
Üçgen Dreieck-allg-w.svg
Üçgen

( Heron'un formülü )

Dreieck-allg.svg
İkizkenar üçgen Dreieck-gsch.svg
normal üçgen

( eşkenar üçgen )

Dreieck-gseit.svg
eşkenar dörtgen / uçurtma Raute-de.svg
Paralelkenar paralel-aha.svg
yamuk trapez-abcdh.svg
Düzenli altıgen Altıgen-a.svg
normal sekizgen Oktagon-a.svg
düzgün çokgen

( yanlar)





Oktagon-arR.svg

( Çevre ) incircle yarıçapı circumcircle yarıçap



Daire

( çap )

Kreis-r-tab.svg
Dairesel sektör Daire ark.svg
Elips Elips-ab-tab.svg
integral hochkant = 0.2
Yüzey alanı
küre
Kugel-1-tab.svg
küboid Dörtlü-1-tab.svg
silindir

(alt ve üst dahil)

Zylinder-1-tab.svg
koni

(alt dahil)

Kegel-1-tab.svg
Torus Torus-1-tab.svg
devrim yüzeyi

(x ekseni etrafında döndürme)

Vazo-1-tab.svg

Yukarıdaki hesaplamalar, birçok yaygın şeklin alanlarının nasıl bulunacağını göstermektedir .

Düzensiz (ve dolayısıyla keyfi) çokgenlerin alanları, " Sörveyör formülü " (ayakkabı bağı formülü) kullanılarak hesaplanabilir .

Alanın çevre ile ilişkisi

Kümenin eşitsizlik uzunluğu kapalı bir eğri için, bildiren L (çevrelediği bölge vardır, böylece çevre L ) ve alan için A çevrelediği bölgenin,

ve eşitlik ancak ve ancak eğri bir daire ise geçerlidir . Böylece bir daire, belirli bir çevre ile herhangi bir kapalı şeklin en büyük alanına sahiptir.

Diğer uçta, belirli bir L çevresine sahip bir şekil, keyfi olarak "devrilen" bir eşkenar dörtgen ile gösterildiği gibi, keyfi olarak küçük bir alana sahip olabilir, böylece açılarından ikisi keyfi olarak 0°'ye yakın ve diğer ikisi keyfi olarak yakındır. 180°'ye kadar.

Bir çevreye için, alanın oranı çevresi (bir dairenin çevresi için kullanılan bir terimdir) yan eşit yarıçap r . Bu, πr 2 alan formülünden ve 2 πr çevre formülünden görülebilir .

Düzgün bir çokgenin alanı , çevresinin yarısı ile özdeyişin çarpımıdır (burada öz, merkezden herhangi bir taraftaki en yakın noktaya olan uzaklıktır).

Fraktallar

Bir çokgenin kenar uzunluklarını ikiye katlamak, alanını dört ile çarpar; bu, iki (yeninin eski kenar uzunluğuna oranı) iki kuvvetine (çokgenin bulunduğu alanın boyutu) yükseltilmiştir. Ancak , iki boyutta çizilen bir fraktalın tek boyutlu uzunluklarının tümü iki katına çıkarsa, fraktal ölçeklerin uzamsal içeriği, mutlaka bir tam sayı olması gerekmeyen ikinin kuvvetiyle ölçeklenir. Bu güce fraktalın fraktal boyutu denir .

Alan bisektörleri

Bir üçgenin alanını ikiye bölen sonsuz sayıda doğru vardır. Bunlardan üçü üçgenin medyanlarıdır (tarafların orta noktalarını karşıt köşelere bağlayan) ve bunlar üçgenin merkezinde eşzamanlıdır ; gerçekten de, merkezden geçen tek alan açıortaylardır. Her iki üçgenin alanı ve yarısında çemberi böler bir üçgenin içinden herhangi bir satır üçgenin incenter (onun merkezi geçer incircle ). Herhangi bir üçgen için bunlardan bir, iki veya üç tane vardır.

Paralelkenarın orta noktasından geçen herhangi bir doğru alanı ikiye böler.

Bir dairenin veya başka bir elipsin tüm alan açıortayları merkezden geçer ve merkezden geçen tüm kirişler alanı ikiye böler. Bir daire durumunda bunlar dairenin çaplarıdır.

Optimizasyon

Bir tel konturu verildiğinde, en az alana yayılan ("dolgu") yüzey , minimal bir yüzeydir . Bilinen örnekler arasında sabun köpüğü bulunur .

Sorusu dolum alanının içinde Riemann dairenin açık kalır.

Daire, aynı çevreye sahip herhangi bir iki boyutlu nesnenin en büyük alanına sahiptir.

Bir siklik çokgen (bir daire içinde yer bir) aynı uzunlukta yanlarının belirli bir sayı ile bir çokgenin en geniş alana sahiptir.

Bir versiyonu isoperimetric eşitsizlik üçgenler devletler için belli bir çevreye sahip tüm kişiler arasında büyük alanın üçgen olduğunu eşkenar .

Belirli bir daireye yazılanların en büyük alana sahip üçgeni eşkenardır; ve belirli bir daire etrafında çevrelenenlerin en küçük alanı olan üçgen eşkenardır.

Çemberin alanının bir eşkenar üçgenin alanına oranı, , herhangi bir eşkenar olmayan üçgeninkinden daha büyüktür.

Bir eşkenar üçgenin alanının karesine oranı, diğer üçgenlerden daha büyüktür.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar