Genişleme aksiyomu - Axiom of extensionality

Gelen aksiyomatik küme kuramı ve dallarına mantık , matematik ve bilgisayar bilimleri kullanmak, Genişletilebilirlik aksiyomuna veya uzatma aksiyomunun biridir aksiyomlarından ait Zermelo-Fraenkel küme kuramı . Aynı elemanlara sahip kümelerin aynı küme olduğunu söylüyor.

Resmi açıklama

Gelen resmi dili Zermelo-Fraenkel aksiyomların, aksiyomu okur:

${\displaystyle \tüm A\,\tüm B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\A=B anlamına gelir)}$

veya kelimelerle:

Herhangi bir verilen bir dizi A ve herhangi bir grubu B , her kümesi için, eğer X , X'in bir üyesidir A , ancak ve ancak, eğer X bir üyesi olan B , daha sonra bir bir eşit için B .

(Burada X'in bir küme olması gerçekten şart değildir  - ancak ZF'de her şey öyledir . Bunun ne zaman ihlal edildiği için aşağıdaki Ur öğelerine bakın.)

Bu aksiyomun tersi, eşitliğin ikame özelliğinden kaynaklanır . ${\displaystyle \tüm A\,\tüm B\,(A=B\için\tüm X\,(X\in A\iff X\in B)),}$

Tercüme

Bu aksiyomu anlamak için, yukarıdaki sembolik ifadede parantez içindeki tümcenin A ve B'nin tam olarak aynı üyelere sahip olduğunu belirttiğine dikkat edin. Böylece, aksiyomun gerçekte söylemek istediği, iki kümenin ancak ve ancak tam olarak aynı üyelere sahip olmaları durumunda eşit olduğudur. Bunun özü şudur:

Bir küme, üyeleri tarafından benzersiz olarak belirlenir.

Uzamsallık aksiyomu , üyeleri tam olarak yüklemi karşılayan kümeler olan benzersiz bir kümeyi tanımlamak için, P'nin A'dan bahsetmeyen herhangi bir tekli yüklem olduğu , formun herhangi bir ifadesiyle kullanılabilir . Daha sonra için yeni bir sembol tanıtabiliriz ; Bu şekilde, sıradan matematikteki tanımlar , ifadeleri tamamen teorik terimlere indirgendiğinde nihayetinde işe yarar. ${\ Displaystyle \ A\,\forall X\,(X\in A\iff P(X)\,)}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili A}$

Genişleme aksiyomu, matematiğin küme-teorik temellerinde genellikle tartışmasızdır ve bu veya eşdeğeri, küme teorisinin hemen hemen her alternatif aksiyomunda ortaya çıkar. Ancak, aşağıdaki gibi bazı amaçlar için değişiklik gerektirebilir.

eşitlik olmadan yüklem mantığında

Yukarıda verilen aksiyom, eşitliğin yüklem mantığında ilkel bir sembol olduğunu varsayar . Aksiyomatik küme teorisinin bazı tedavileri, bu olmadan yapmayı tercih eder ve bunun yerine yukarıdaki ifadeyi bir aksiyom olarak değil, bir eşitlik tanımı olarak ele alır. O zaman yüklem mantığından alışılmış eşitlik aksiyomlarını bu tanımlanmış sembolle ilgili aksiyomlar olarak dahil etmek gerekir. Eşitlik aksiyomlarının çoğu hala tanımdan çıkar; kalan, ikame özelliğidir,

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\forall X\,(X\in A\iff X\in B)\için \forall Y\,(A\in Y\iff B\in Y) \,),}$

ve bu bağlamda genişleme aksiyomu olarak adlandırılan bu aksiyom olur .

ur-elemanları ile küme teorisinde

Bir ur elemanı , kendisi küme olmayan bir kümenin üyesidir. Zermelo-Fraenkel aksiyomlarında ur-elemanları yoktur, ancak küme teorisinin bazı alternatif aksiyomlarına dahil edilirler. Ur öğeleri, kümelerden farklı bir mantıksal tür olarak ele alınabilir ; bu durumda, bir ur-element olup olmadığının bir anlamı yoktur , bu nedenle genişleme aksiyomu yalnızca kümeler için geçerlidir. ${\ Displaystyle B\ A'da}$${\görüntüleme stili A}$

Alternatif olarak, yazılmamış mantıkta, bir ur öğesi olduğunda false olmasını isteyebiliriz . Bu durumda, genel genişleme aksiyomu, her ur-elemanının boş kümeye eşit olduğu anlamına gelir . Bu sonuçtan kaçınmak için, genişleme aksiyomunu yalnızca boş olmayan kümelere uygulanacak şekilde değiştirebiliriz, böylece şunu okur: ${\ Displaystyle B\ A'da}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,(\exists X\,(X\in A)\ifadesi [\forall Y\,(Y\in A\iff Y\in B)\için A=B anlamına gelir ]\,).}$

Yani:

Seti göz önüne alındığında bir ve herhangi bir set B , eğer bir boş olmayan bir dizi olduğunu (üye mevcutsa olduğunu X'i ait A ), daha sonra ise A ve B tamamen aynı üyeye sahip, o zaman eşittir.

Türsüz mantığın bir başka alternatifi, kendisini bir ur-elementi olduğunda tek öğe olarak tanımlamaktır . Bu yaklaşım, genişleme aksiyomunu korumaya hizmet edebilirken , düzenlilik aksiyomunun bunun yerine bir ayarlamaya ihtiyacı olacaktır. ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$

Ayrıca bakınız

• Genel bir bakış için genişletilebilirlik .

Referanslar

• Paul Halmos , Naif küme teorisi . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Springer-Verlag, New York, 1974 tarafından yeniden basılmıştır. ISBN  0-387-90092-6 (Springer-Verlag baskısı).
• Jech, Thomas , 2003. Küme Teorisi: Üçüncü Binyıl Baskısı, Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth , 1980. Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .