aksiyom -Axiom

Bir aksiyom , varsayım veya varsayım , daha fazla akıl yürütme ve argümanlar için bir öncül veya başlangıç ​​noktası olarak hizmet etmek üzere doğru olarak kabul edilen bir ifadedir . Sözcük , 'değerli veya uygun olduğu düşünülen' veya 'kendini açık olarak kabul eden' anlamına gelen Eski Yunanca ἀξίωμα ( axíōma ) kelimesinden gelir.

Terim, farklı çalışma alanları bağlamında kullanıldığında tanımda ince farklılıklara sahiptir. Klasik felsefede tanımlandığı gibi , bir aksiyom, tartışmasız veya sorgulamadan kabul edilebilecek kadar açık veya köklü bir ifadedir . Modern mantıkta kullanıldığı gibi , bir aksiyom, akıl yürütme için bir öncül veya başlangıç ​​noktasıdır.

Matematikte kullanıldığı gibi , aksiyom terimi , birbiriyle ilişkili ancak ayırt edilebilir iki anlamda kullanılır: "mantıksal aksiyomlar" ve "mantıksal olmayan aksiyomlar" . Mantıksal aksiyomlar, genellikle tanımladıkları mantık sistemi içinde doğru kabul edilen ve genellikle sembolik biçimde gösterilen (örn., ( A ve B ) A anlamına gelir ), mantıksal olmayan aksiyomlar ise (örn., a + b = b ) ifadelerdir. + a ) aslında belirli bir matematiksel teorinin ( aritmetik gibi) alanının öğeleri hakkında önemli iddialardır .

İkinci anlamda kullanıldığında, "aksiyom", "varsayım" ve "varsayım" birbirinin yerine kullanılabilir. Çoğu durumda, mantıksal olmayan bir aksiyom, matematiksel bir teori oluşturmak için tümdengelimde kullanılan resmi bir mantıksal ifadedir ve doğası gereği aşikar olabilir veya olmayabilir (örneğin, Öklid geometrisinde paralel önerme ). Bir bilgi sistemini aksiyomlaştırmak, onun iddialarının küçük, iyi anlaşılmış bir dizi cümleden (aksiyomlar) türetilebileceğini ve belirli bir matematiksel alanı aksiyomlaştırmanın birden fazla yolu olabileceğini göstermektir.

Herhangi bir aksiyom, diğer ifadelerin mantıksal olarak türetildiği bir başlangıç ​​noktası olarak hizmet eden bir ifadedir. Bir aksiyomun "doğru" olmasının anlamlı olup olmadığı (ve eğer öyleyse, ne anlama geldiği) matematik felsefesinde bir tartışma konusudur .

etimoloji

Aksiyom kelimesi , "değerli saymak" anlamına gelen ἀξιόειν ( axioein ) fiilinden bir sözlü isim olan Yunanca ἀξίωμα ( axíōma ) kelimesinden gelir , aynı zamanda "gerektirmek" anlamına gelir ve bu da sırasıyla ἄξιος ( áxios ), " anlamına gelir . dengede olma" ve dolayısıyla "(aynı) değere sahip olma", "değerli", "uygun". Eski Yunan filozofları arasında bir aksiyom, herhangi bir kanıta ihtiyaç duymadan aşikar bir şekilde doğru olarak görülebilen bir iddiaydı.

Postulat kelimesinin kök anlamı "talep etmek"tir; örneğin, Öklid , bazı şeylerin yapılabileceği konusunda hemfikir olunmasını talep eder (örneğin, herhangi iki nokta düz bir çizgiyle birleştirilebilir).

Eski geometriciler, aksiyomlar ve postülalar arasında bazı ayrımlar yaptı. Proclus , Euclid'in kitapları hakkında yorum yaparken, " Geminus , bu [4.] Postüla'nın bir postüla olarak değil, bir aksiyom olarak sınıflandırılması gerektiğini, çünkü ilk üç Postülat gibi, bazı inşa olasılığını öne sürmediğini, ancak bir ifadeyi ifade ettiğini belirtti. temel mülk." Boethius 'postulatı' petitio olarak tercüme etti ve aksiyomları notiones communes olarak adlandırdı, ancak daha sonraki el yazmalarında bu kullanım her zaman katı bir şekilde korunmadı.

Tarihsel gelişim

Erken Yunanlılar

Sonuçların (yeni bilgi) öncüllerden (eski bilgi) sağlam argümanların ( tasımlar , çıkarım kuralları ) uygulanması yoluyla takip edildiği mantıksal-tümdengelim yöntemi , eski Yunanlılar tarafından geliştirildi ve modern matematiğin temel ilkesi haline geldi. Totolojiler hariç, hiçbir şey varsayılmazsa hiçbir şey çıkarılamaz. Aksiyomlar ve varsayımlar, bu nedenle, belirli bir tümdengelim bilgisinin altında yatan temel varsayımlardır. Gösterilmeden kabul edilirler. Diğer tüm iddialar ( matematik durumunda teoremler ) bu temel varsayımların yardımıyla kanıtlanmalıdır. Bununla birlikte, matematiksel bilginin yorumu eski zamanlardan moderne değişmiştir ve sonuç olarak, aksiyom ve postulat terimleri , günümüz matematikçileri için Aristoteles ve Öklid için olduğundan biraz farklı bir anlama sahiptir .

Eski Yunanlılar geometriyi birkaç bilimden sadece biri olarak gördüler ve geometri teoremlerini bilimsel gerçeklerle eşit tuttular. Bu nedenle, mantıksal-tümdengelim yöntemini, hatadan kaçınma ve bilgiyi yapılandırma ve iletme aracı olarak geliştirdiler ve kullandılar. Aristoteles'in posterior analitiği , klasik görüşün kesin bir açıklamasıdır.

Klasik terminolojide bir "aksiyom", birçok bilim dalında ortak olan apaçık bir varsayıma atıfta bulunur. İyi bir örnek, şu iddia olabilir:

Eşitlerden eşit bir miktar alındığında, eşit bir miktar ortaya çıkar.

Çeşitli bilimlerin temelinde, kanıtlanmadan kabul edilen bazı ek hipotezler yatıyordu. Böyle bir hipotez postüla olarak adlandırıldı . Aksiyomlar birçok bilimde ortak olsa da, her bir bilimin varsayımları farklıydı. Geçerlilikleri, gerçek dünya deneyimi aracılığıyla kurulmalıydı. Aristoteles, öğrencinin varsayımların doğruluğu konusunda şüphesi varsa, bir bilimin içeriğinin başarılı bir şekilde iletilemeyeceği konusunda uyarır.

Klasik yaklaşım, bir postülalar listesinin verildiği (deneyimlerimizden elde edilen sağduyulu geometrik gerçekler), ardından bir "ortak kavramlar" (çok temel, apaçık iddialar) listesinin verildiği Öklid'in Elementleri tarafından iyi örneklendirilmiştir .

varsayımlar
  1. Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya düz bir çizgi çekmek mümkündür .
  2. Bir doğru parçasını sürekli olarak her iki yönde uzatmak mümkündür.
  3. Herhangi bir merkezi ve herhangi bir yarıçapı olan bir daireyi tanımlamak mümkündür .
  4. Tüm dik açıların birbirine eşit olduğu doğrudur.
  5. (" Paralel postüla ") İki düz çizgi üzerine düşen bir düz çizgi , aynı taraftaki iç açıları iki dik açıdan daha küçük yaparsa, iki düz çizgi, süresiz olarak üretiliyorsa , o tarafta kesiştiği doğrudur. açılar iki dik açıdan daha küçüktür.
Ortak kavramlar
  1. Aynı şeye eşit olan şeyler de birbirine eşittir.
  2. Eşitlere eşitler eklenirse, bütünler eşittir.
  3. Eşitler eşitlerden çıkarılırsa, kalanlar eşittir.
  4. Birbiriyle örtüşen şeyler birbirine eşittir.
  5. Bütün, parçadan daha büyüktür.

Modern gelişme

Son 150 yılda matematiğin öğrendiği bir ders, anlamı matematiksel iddialardan (aksiyomlar, önermeler, önermeler , teoremler) ve tanımlardan uzaklaştırmanın faydalı olduğudur. Herhangi bir çalışmada, ilkel kavramlara veya tanımlanmamış terimlere veya kavramlara duyulan ihtiyacı kabul etmek gerekir . Bu tür bir soyutlama veya biçimselleştirme, matematiksel bilgiyi daha genel, birden çok farklı anlama sahip ve dolayısıyla birden çok bağlamda yararlı hale getirir. Alessandro Padoa , Mario Pieri ve Giuseppe Peano bu hareketin öncüleriydi.

Yapısalcı matematik daha da ileri gider ve akılda herhangi bir özel uygulama olmaksızın teoriler ve aksiyomlar (örneğin alan teorisi , grup teorisi , topoloji , vektör uzayları ) geliştirir. Bir "aksiyom" ve bir "varsayım" arasındaki ayrım ortadan kalkar. Öklid'in varsayımları, büyük bir geometrik gerçekler zenginliğine yol açtıklarını söyleyerek kârlı bir şekilde motive edilir. Bu karmaşık gerçeklerin doğruluğu, temel hipotezlerin kabulüne dayanır. Bununla birlikte, Öklid'in beşinci önermesini atarak, daha geniş bağlamlarda anlamı olan teoriler elde edilebilir (örneğin, hiperbolik geometri ). Bu nedenle, "çizgi" ve "paralel" gibi etiketleri daha fazla esneklikle kullanmaya hazır olunmalıdır. Hiperbolik geometrinin gelişimi, matematikçilere, önermeleri deneyime dayalı gerçekler olarak değil, salt biçimsel ifadeler olarak görmenin yararlı olduğunu öğretti.

Matematikçiler alan aksiyomlarını kullandıklarında, niyetler daha da soyuttur. Alan teorisinin önermeleri herhangi bir özel uygulama ile ilgili değildir; matematikçi şimdi tam bir soyutlama içinde çalışıyor. Alan örnekleri çoktur; alan teorisi hepsi hakkında doğru bilgi verir.

Alan teorisinin aksiyomlarının "kanıtsız doğru kabul edilen önermeler" olduğunu söylemek doğru değildir. Aksine, alan aksiyomları bir dizi kısıtlamadır. Herhangi bir verili toplama ve çarpma sistemi bu kısıtlamaları karşılıyorsa, o zaman kişi bu sistem hakkında çok fazla ek bilgiyi anında öğrenebilecek bir konumdadır.

Modern matematik, temellerini, matematiksel teorilerin matematiksel nesneler olarak kabul edilebileceği ve matematiğin kendisinin bir mantığın dalı olarak kabul edilebileceği ölçüde resmileştirir . Frege , Russell , Poincare , Hilbert ve Gödel bu gelişmedeki kilit isimlerden bazılarıdır.

Modern matematikte öğrenilen bir diğer ders, gizli varsayımlar için sözde ispatları dikkatlice incelemektir.

Modern anlayışta, bir aksiyom seti, belirli iyi tanımlanmış kuralların uygulanmasıyla, resmi olarak ifade edilen diğer iddiaların takip ettiği, resmi olarak ifade edilen iddiaların herhangi bir koleksiyonudur . Bu görüşe göre, mantık başka bir biçimsel sistem haline gelir. Bir dizi aksiyom tutarlı olmalıdır ; aksiyomlardan bir çelişki çıkarmak imkansız olmalıdır. Bir dizi aksiyom da gereksiz olmalıdır; diğer aksiyomlardan çıkarsanabilecek bir iddianın bir aksiyom olarak kabul edilmesi gerekmez.

Matematiğin çeşitli dallarının, belki de tüm matematiğin tutarlı bir temel aksiyomlar koleksiyonundan türetilebileceği modern mantıkçıların ilk umuduydu. Biçimci programın erken başarısı, Hilbert'in Öklid geometrisini biçimselleştirmesi ve bu aksiyomların tutarlılığının ilgili gösterimiydi.

Daha geniş bir bağlamda, tüm matematiği Cantor'un küme teorisine dayandırma girişimi vardı . Burada, Russell'ın paradoksunun ve naif küme teorisinin benzer çatışkılarının ortaya çıkması, bu tür herhangi bir sistemin tutarsız olma olasılığını artırdı.

1931'de Gödel, yeterince büyük herhangi bir aksiyom dizisinin (örneğin Peano'nun aksiyomları ) doğruluğu bu aksiyomlar dizisinden bağımsız olan bir ifade oluşturmanın mümkün olduğunu gösterdiğinde, formalist proje kesin bir gerileme yaşadı . Sonuç olarak , Gödel , Peano aritmetiği gibi bir teorinin tutarlılığının, bu teori kapsamında kanıtlanamaz bir iddia olduğunu kanıtladı.

Peano aritmetiğinin tutarlılığına inanmak mantıklıdır çünkü o, sonsuz ama sezgisel olarak erişilebilir bir biçimsel sistem olan doğal sayılar sistemi tarafından tatmin edilir. Bununla birlikte, şu anda küme teorisi için modern Zermelo-Fraenkel aksiyomlarının tutarlılığını göstermenin bilinen bir yolu yoktur . Ayrıca, zorlama teknikleri ( Cohen ) kullanılarak, süreklilik hipotezinin (Cantor) Zermelo-Fraenkel aksiyomlarından bağımsız olduğu gösterilebilir. Bu nedenle, bu çok genel aksiyomlar dizisi bile matematiğin kesin temeli olarak kabul edilemez.

diğer bilimler

Deneysel bilimler - matematik ve mantığın aksine - aynı zamanda, özellikleri öngören önermeleri ifade etmek için tümdengelimli bir akıl yürütmenin oluşturulabileceği genel kurucu iddialara sahiptir - ya hala genel ya da belirli bir deneysel bağlama göre çok daha uzmanlaşmıştır. Örneğin, klasik mekanikte Newton yasaları , klasik elektromanyetizmada Maxwell denklemleri , genel görelilikteki Einstein denklemi , Mendel'in genetik yasaları, Darwin'in Doğal seçilim yasası vb. Bu kurucu iddialara, matematiksel aksiyomlardan ayırt edilmeleri için genellikle ilkeler veya postulatlar denir .

Nitekim matematikte aksiyomların ve deneysel bilimlerde postülaların rolü farklıdır. Matematikte kişi bir aksiyomu ne "kanıtlar" ne de "çürütmez". Bir dizi matematiksel aksiyom, teoremlerin mantıksal olarak takip ettiği kavramsal bir alanı sabitleyen bir dizi kural verir. Buna karşılık, deneysel bilimlerde, bir dizi varsayım, deneysel sonuçlarla eşleşen veya eşleşmeyen sonuçların çıkarılmasına izin verecektir. Varsayımlar deneysel tahminlerin çıkarılmasına izin vermiyorsa, bilimsel bir kavramsal çerçeve oluşturmazlar ve tamamlanmaları veya daha doğru hale getirilmeleri gerekir. Varsayımlar, deneysel sonuçların tahminlerinin çıkarılmasına izin veriyorsa, deneylerle karşılaştırma, varsayımların kurduğu teorinin yanlışlanmasına ( yanlışlanmasına ) izin verir. Bir teori, yanlışlanmadığı sürece geçerli kabul edilir.

Şimdi, matematiksel aksiyomlar ve bilimsel varsayımlar arasındaki geçiş, özellikle fizikte her zaman biraz bulanıktır. Bunun nedeni, fiziksel teorileri desteklemek için matematiksel araçların yoğun kullanımıdır. Örneğin, Newton yasalarının getirilmesi, ne Öklid geometrisi ne de diferansiyel hesabı nadiren bir ön koşul olarak ortaya koyar. Albert Einstein , değişmez niceliğin artık Öklid uzunluğu ( olarak tanımlanır ) > değil, Minkowski uzay-zaman aralığı ( olarak tanımlanır ) olduğu özel göreliliği ilk kez tanıttığında ve ardından düz Minkowski geometrisinin sözde Riemann ile değiştirildiği genel göreliliği tanıttığında daha belirgin hale geldi . eğri manifoldlar üzerinde geometri .

Kuantum fiziğinde, bir süredir bir arada var olan iki postüla seti, çok güzel bir yanlışlama örneği sunuyor. ' Kopenhag okulu ' ( Niels Bohr , Werner Heisenberg , Max Born ), kuantum sisteminin ayrılabilir bir Hilbert uzayında vektörler ('durumlar') tarafından ve fiziksel niceliklerin lineer operatörler olarak tanımlanmasını içeren eksiksiz bir matematiksel formalizmle operasyonel bir yaklaşım geliştirdi. bu Hilbert uzayında hareket eden Bu yaklaşım tamamen yanlışlanabilir ve şimdiye kadar fizikteki en doğru tahminleri üretti. Ancak, kişinin doğal olarak soracağı soruların cevaplarına izin vermemek gibi tatmin edici olmayan bir yönü var. Bu nedenle, bir süredir Albert Einstein, Erwin Schrödinger , David Bohm tarafından başka bir ' gizli değişkenler ' yaklaşımı geliştirildi . Dolanıklık gibi olgulara determinist bir açıklama getirmeye çalışmak için yaratılmıştır . Bu yaklaşım, Kopenhag ekolünün tanımının tamamlanmadığını varsayar ve henüz bilinmeyen bazı değişkenlerin teoriye, cevaplayamadığı (kurucu unsurları EPR olarak tartışılan) bazı soruların cevaplanmasına izin vermek için eklenmesi gerektiğini varsayar. 1935'te paradoks ). Bu fikirleri ciddiye alan John Bell , 1964'te Kopenhag ve Gizli değişken durumunda farklı deneysel sonuçlara ( Bell'in eşitsizlikleri ) yol açacak bir tahminde bulundu . Deney ilk olarak 1980'lerin başında Alain Aspect tarafından gerçekleştirildi ve sonuç basit gizli değişken yaklaşımını hariç tuttu (sofistike gizli değişkenler hala var olabilir, ancak özellikleri hala çözmeye çalıştıkları problemlerden daha rahatsız edici olurdu). Bu, kuantum fiziğinin kavramsal çerçevesinin şu anda tamamlanmış olarak kabul edilebileceği anlamına gelmez, çünkü bazı açık sorular hala mevcuttur (kuantum ve klasik alemler arasındaki sınır, bir kuantum ölçümü sırasında ne olur, tamamen kapalı bir kuantum sisteminde ne olur? evrenin kendisi vb.)

matematiksel mantık

Matematiksel mantık alanında, iki aksiyom kavramı arasında açık bir ayrım yapılır: mantıksal ve mantıksal olmayan (sırasıyla "aksiyomlar" ve "varsayımlar" arasındaki eski ayrıma biraz benzer).

mantıksal aksiyomlar

Bunlar, resmi bir dilde evrensel olarak geçerli olan belirli formüllerdir , yani her değer ataması tarafından karşılanan formüllerdir . Genellikle , dildeki tüm totolojileri kanıtlamak için yeterli olan en azından bazı minimal totolojiler mantıksal aksiyomlar olarak alınır; yüklem mantığı durumunda , tam anlamıyla totoloji olmayan mantıksal doğruları kanıtlamak için gerekenden daha fazla mantıksal aksiyom gerekir .

Örnekler

önerme mantığı

Önermeler mantığında , aşağıdaki formların tüm formüllerini mantıksal aksiyomlar olarak almak yaygındır, burada , , ve dilin herhangi bir formülü olabilir ve dahil edilen ilkel bağlaçların yalnızca hemen ardından gelen önermenin olumsuzlanması için " " ve " " için öncülden sonuç önermelerine çıkarım :

Bu kalıpların her biri bir aksiyom şemasıdır , sonsuz sayıda aksiyom üretmek için bir kuraldır. Örneğin, eğer , , ve önerme değişkenleri ise , o zaman ve her ikisi de aksiyom şeması 1'in örnekleridir ve dolayısıyla aksiyomlardır. Yalnızca bu üç aksiyom şeması ve modus ponens ile önermeler hesabının tüm totolojilerinin kanıtlanabileceği gösterilebilir. Bu şemalardan hiçbirinin modus ponens ile tüm totolojileri kanıtlamak için yeterli olmadığı da gösterilebilir .

Aynı veya farklı ilkel bağlaç kümelerini içeren başka aksiyom şemaları da alternatif olarak oluşturulabilir.

Bu aksiyom şemaları yüklem hesabında da kullanılır , ancak hesaba bir niceleyici eklemek için ek mantıksal aksiyomlara ihtiyaç vardır.

Birinci dereceden mantık

Eşitlik Aksiyomu. Birinci dereceden bir dil olsun . Her değişken için formül

evrensel olarak geçerlidir.

Bu, herhangi bir değişken sembolü için formülün bir aksiyom olarak kabul edilebileceği anlamına gelir. Ayrıca, bu örnekte, bunun belirsizliğe ve hiç bitmeyen bir "ilkel kavramlar" dizisine düşmemesi için, ya ne demek istediğimize dair kesin bir kavram (ya da, bu konuda, "eşit olmak") gerekir. önce iyi kurulmuş, ya da sembolün salt biçimsel ve sözdizimsel bir kullanımı, onu yalnızca bir dizge ve yalnızca bir simgeler dizgisi olarak kabul ederek zorunlu kılınmalıdır ve matematiksel mantık gerçekten de bunu yapar.

Bir başka, daha ilginç örnek aksiyom şeması , bize Evrensel Örnekleme olarak bilinen şeyi sağlayandır :

Evrensel Örnekleme için aksiyom şeması. Birinci dereceden bir dilde bir formül , bir değişken ve in yerine ikame edilebilen bir terim verildiğinde, formül

evrensel olarak geçerlidir.

Sembolün , terimi ile değiştirilen formülü temsil ettiği yer . (Bkz . Değişkenlerin Değiştirilmesi .) Gayri resmi olarak, bu örnek, belirli bir özelliğin her biri için geçerli olduğunu ve yapımızda belirli bir nesneyi temsil ettiğini biliyorsak , o zaman iddia edebilmemiz gerektiğini belirtmemize izin verir . Yine, formülün geçerli olduğunu iddia ediyoruz , yani bu gerçeğin bir "kanıtını" ya da daha doğrusu bir meta-kanıt verebilmeliyiz . Bu örnekler, bizzat ispat kavramıyla uğraştığımız için matematiksel mantık teorimizin metateoremleridir . Bunun dışında Varoluşsal Genelleme de yapabiliriz :

Varoluşsal Genelleme için aksiyom şeması. Birinci dereceden bir dilde bir formül , bir değişken ve in yerine ikame edilebilen bir terim verildiğinde, formül

evrensel olarak geçerlidir.

mantıksal olmayan aksiyomlar

Mantıksal olmayan aksiyomlar , teoriye özgü varsayımların rolünü oynayan formüllerdir. Örneğin, doğal sayılar ve tam sayılar gibi iki farklı yapı hakkında akıl yürütmek aynı mantıksal aksiyomları içerebilir; mantıksal olmayan aksiyomlar, belirli bir yapı (veya gruplar gibi yapılar kümesi) hakkında özel olanı yakalamayı amaçlar . Dolayısıyla mantıksal olmayan aksiyomlar, mantıksal aksiyomların aksine totoloji değildir . Mantıksal olmayan bir aksiyomun başka bir adı postulattır .

Hemen hemen her modern matematiksel teori , belirli bir mantıksal olmayan aksiyomlar dizisinden başlar ve prensipte her teorinin bu şekilde aksiyomlaştırılabileceği ve mantıksal formüllerin çıplak diline kadar resmileştirilebileceği düşünülmüştür.

Mantıksal olmayan aksiyomlar genellikle matematiksel söylemde aksiyomlar olarak adlandırılır . Bu, onların mutlak anlamda doğru olduklarının iddia edildiği anlamına gelmez. Örneğin, bazı gruplarda, grup işlemi değişmelidir ve bu, ek bir aksiyomun eklenmesiyle ileri sürülebilir, ancak bu aksiyom olmadan, (daha genel) grup teorisini oldukça iyi geliştirebiliriz ve hatta alabiliriz. değişmeyen grupların incelenmesi için bir aksiyom olarak olumsuzlaması.

Bu nedenle, bir aksiyom , çıkarım kurallarıyla birlikte tümdengelimli bir sistem tanımlayan biçimsel bir mantık sistemi için temel bir temeldir .

Örnekler

Bu bölüm, tamamıyla bir dizi mantıksal olmayan aksiyomdan (bundan böyle aksiyomlar) geliştirilen matematiksel teorilerin örneklerini verir. Bu konulardan herhangi birinin titiz bir şekilde ele alınması, bu aksiyomların belirtilmesiyle başlar.

Aritmetik , gerçek analiz ve karmaşık analiz gibi temel teoriler genellikle aksiyomatik olmayan bir şekilde tanıtılır, ancak örtülü veya açık olarak kullanılan aksiyomların genellikle Zermelo-Fraenkel küme teorisi aksiyomları , kısaltılmış ZFC veya bazılarının aksiyomları olduğu varsayımı vardır. ZFC'nin muhafazakar bir uzantısı olan Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisi gibi çok benzer aksiyomatik küme teorisi sistemi . Bazen Morse-Kelley küme teorisi gibi biraz daha güçlü teoriler veya Grothendieck evreninin kullanılmasına izin veren kesinlikle erişilemeyen bir kardinal ile küme teorisi kullanılır, ancak aslında çoğu matematikçi ihtiyaç duydukları her şeyi ZFC'den daha zayıf sistemlerde ispatlayabilirler . -sıra aritmetiği .

Matematikte topoloji çalışması, nokta küme topolojisi , cebirsel topoloji , diferansiyel topoloji ve homoloji teorisi , homotopi teorisi gibi tüm ilgili gereçler aracılığıyla genişler . Soyut cebirin gelişimi grup teorisini , halkaları , alanları ve Galois teorisini de beraberinde getirdi .

Bu liste, ölçü teorisi , ergodik teori , olasılık , temsil teorisi ve diferansiyel geometri dahil olmak üzere matematiğin çoğu alanını içerecek şekilde genişletilebilir .

Aritmetik

Peano aksiyomları , birinci dereceden aritmetiğin en yaygın kullanılan aksiyomlarıdır . Bunlar, sayılar teorisiyle ilgili birçok önemli gerçeği kanıtlayacak kadar güçlü bir aksiyomlar dizisidir ve Gödel'in ünlü ikinci eksiklik teoremini kurmasına izin verdiler .

Sabit bir sembol ve tekli bir fonksiyon ve aşağıdaki aksiyomların olduğu bir dilimiz var :

  1. bir serbest değişkenli herhangi bir formül için.

Standart yapı, doğal sayılar kümesinin olduğu yerdir , ardıl işlevdir ve doğal olarak 0 sayısı olarak yorumlanır.

Öklid geometrisi

Muhtemelen en eski ve en ünlü aksiyom listesi, 4 + 1 Öklid'in düzlem geometrisi önermeleridir . Aksiyomlara "4 + 1" denir, çünkü neredeyse iki bin yıl boyunca beşinci (paralel) varsayımın ("bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen tam olarak bir paralel vardır") ilk dördünden türetilebilir olduğundan şüphelenilirdi. Nihayetinde, beşinci postülatın ilk dördünden bağımsız olduğu bulundu. Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen tam olarak bir paralelin var olduğu veya sonsuz sayıda var olduğu varsayılabilir. Bu seçim bize , bir üçgenin iç açılarının toplamının sırasıyla tam olarak 180 derece veya daha az olduğu ve Öklid ve hiperbolik geometriler olarak bilinen iki alternatif geometri biçimi verir . İkinci önerme de kaldırılırsa ("bir doğru sonsuza kadar uzayabilir"), o zaman bir doğrunun dışındaki bir noktadan paralel olmayan ve bir üçgenin iç açılarının toplamının 180 dereceden fazla olduğu eliptik geometri ortaya çıkar. .

Gerçek analiz

Çalışmanın amaçları reel sayılar alanındadır . Gerçek sayılar, bir Dedekind tam sıralı alanın özellikleri tarafından benzersiz bir şekilde ( izomorfizme kadar) seçilir ; bu, bir üst sınırı olan boş olmayan herhangi bir gerçek sayı kümesinin en küçük bir üst sınırı olduğu anlamına gelir. Ancak bu özellikleri aksiyomlar olarak ifade etmek, ikinci dereceden mantığın kullanılmasını gerektirir . Löwenheim-Skolem teoremleri , kendimizi birinci mertebeden mantıkla sınırlandırırsak , gerçekler için herhangi bir aksiyom sisteminin, hem gerçeklerden daha küçük hem de daha büyük modeller dahil olmak üzere diğer modelleri kabul ettiğini söyler. İkincisinin bazıları standart olmayan analizde incelenir .

Matematiksel mantıktaki rolü

Tümdengelim sistemleri ve eksiksizlik

Tümdengelimli bir sistem , bir dizi mantıksal aksiyomdan, bir dizi mantıksal olmayan aksiyomdan ve bir dizi çıkarım kuralından oluşur . Tümdengelimli bir sistemin istenen bir özelliği, eksiksiz olmasıdır . Tüm formüller için, bir sistemin tamamlanmış olduğu söylenir ,

yani, mantıksal bir sonucu olan herhangi bir ifade için , ifadenin . Bu bazen "doğru olan her şey kanıtlanabilir" olarak ifade edilir, ancak burada "doğru"nun, örneğin "amaçlanan yorumda doğru" değil, "aksiyomlar kümesi tarafından doğrulanmış" anlamına geldiği anlaşılmalıdır. Gödel'in tamlık teoremi , yaygın olarak kullanılan belirli bir tümdengelim sisteminin tamlığını belirler.

"Bütünlük"ün burada , Aritmetik Teorisinin hiçbir özyinelemeli , tutarlı mantıksal olmayan aksiyomlarının tam olmadığını belirten Gödel'in ilk eksiklik teoremi bağlamında olduğundan farklı bir anlama sahip olduğuna dikkat edin . verilen aksiyomlar kümesinden ne kanıtlanabilen ne de ispatlanamayan bir aritmetik ifade vardır.

Dolayısıyla, bir yanda tümdengelimli bir sistemin eksiksizliği kavramı , diğer yanda bir dizi mantıksal olmayan aksiyomun eksiksizliği kavramı vardır . Tamlık teoremi ve eksiklik teoremi, isimlerine rağmen birbirleriyle çelişmezler.

Daha fazla tartışma

İlk matematikçiler aksiyomatik geometriyi fiziksel uzayın bir modeli olarak gördüler ve açıkçası böyle bir model sadece bir tane olabilirdi. Alternatif matematiksel sistemlerin var olabileceği fikri, 19. yüzyılın matematikçileri için çok rahatsız ediciydi ve Boole cebri gibi sistemlerin geliştiricileri, onları geleneksel aritmetikten türetmek için ayrıntılı çaba sarf ettiler. Galois , zamansız ölümünden hemen önce bu çabaların büyük ölçüde boşa gittiğini gösterdi. Nihayetinde cebirsel sistemler arasındaki soyut paralellikler ayrıntılardan daha önemli görülmüş ve modern cebir doğmuştur. Modern görüşte aksiyomlar, tutarsız oldukları bilinmediği sürece herhangi bir formül kümesi olabilir.

Ayrıca bakınız

notlar

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar