Birim kök - Unit root

Gelen olasılık teorisi ve istatistik , bir birim kök bazılarının bir özelliktir stokastik süreçler (örneğin rastgele kesiminden sorunlara neden olabilir) istatistiksel çıkarsama içeren zaman serisi modelleri . 1, sürecin karakteristik denkleminin kökü ise, doğrusal bir stokastik süreç birim köke sahiptir . Böyle bir süreç durağan değildir, ancak her zaman bir eğilimi yoktur.

Karakteristik denklemin diğer kökleri birim çemberin içindeyse, yani birden küçük bir modüle ( mutlak değere ) sahipse , sürecin birinci farkı durağan olacaktır; aksi takdirde işlemin durağan hale gelmesi için birçok kez farkının alınması gerekecektir. Eğer d birim kök varsa, işlemi durağan hale getirmek için d kez farkının alınması gerekecektir . Bu özelliğinden dolayı birim kök süreçlerine fark durağan da denir .

Birim kök süreçleri bazen trend-durağan süreçlerle karıştırılabilir ; birçok özelliği paylaşırken, birçok yönden farklıdırlar. Bir zaman serisinin durağan olmaması, ancak birim kök içermemesi ve trend durağan olması mümkündür. Hem birim kök hem de trend-durağan süreçlerde, ortalama zamanla artabilir veya azalabilir; bununla birlikte, bir şokun varlığında, trend-durağan süreçler ortalamayı tersine çevirir (yani geçici, zaman serileri, şoktan etkilenmeyen büyüyen ortalamaya doğru yeniden yakınsayacaktır), birim kök süreçlerin ise üzerinde kalıcı bir etkisi vardır. ortalama (yani zaman içinde yakınsama yok).

Sürecin karakteristik denkleminin kökü 1'den büyükse, bu tür süreçlere bazen yanlış bir şekilde birim kök süreçleri olarak adlandırılsa da, buna patlayıcı süreç denir.

Birim kökün varlığı, birim kök testi kullanılarak test edilebilir .

Tanım

Ayrık zamanlı bir stokastik süreç düşünün ve bunun p mertebesinde otoregresif bir süreç  olarak yazılabileceğini varsayalım : ${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{tp}+\varepsilon _{t}.}$

Burada, sabit varyanslı, seri olarak ilişkisiz, sıfır ortalamalı stokastik bir süreçtir . Kolaylık sağlamak için, varsayalım . Eğer a, kök bölgesinin karakteristik denkleminin arasında, çok sayıda 1: ${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle y_{0}=0}$${\görüntüleme stili m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

o zaman stokastik süreç bir birim köke sahiptir veya alternatif olarak , birinci dereceden tümleşik olarak gösterilir . Eğer m = 1, r çokluğunun bir kökü ise , o zaman stokastik süreç r mertebesinde entegre edilir ve I ( r ) ile gösterilir . ${\görüntüleme stili I(1)}$

Örnek

Birinci dereceden otoregresif model, , olduğunda birim köke sahiptir . Bu örnekte, karakteristik denklem . Denklemin kökü . ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle a_{1}=1}$${\displaystyle m-a_{1}=0}$${\görüntüleme stili m=1}$

Sürecin birim kökü varsa, o zaman durağan olmayan bir zaman serisidir. Yani, stokastik sürecin anları bağlıdır . Birim kökün etkisini göstermek için, y ₀  = 0'dan başlayarak birinci dereceden durumu ele alabiliriz : ${\görüntüleme stili t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Tekrarlanan ikame ile yazabiliriz . Daha sonra varyansı şu şekilde verilir: ${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$${\görüntüleme stili y_{t}}$

${\displaystyle \operatöradı {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

Varyans t'ye bağlıdır, çünkü , while . Serinin varyansının t ile sonsuza saptığına dikkat edin  . ${\displaystyle \operatöradı {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \operatöradı {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Birim kökün varlığını kontrol etmek için çeşitli testler vardır, bunlardan bazıları şu şekilde verilmektedir:

1. Dickey-Fuller testi (DF) ya da Dickey-Fuller güçlendirilmiş (ADF) testleri
2. Birden fazla katsayının anlamlılığının test edilmesi (f-testi)
3. Phillips-Perron testi (PP)
4. Dickey Pantula testi

İlgili modeller

Ayrıca için kendiliğinden gerileyen (AR) ve özyinelemeli-hareketli ortalama (ARMA) modelleri, diğer önemli modeller ortaya regresyon analizi modeli hataları kendilerini olabilir zaman serisi yapısı ve bu nedenle AR veya ARMA işlemi bu modellenebilir gerekebilir yukarıda tartışıldığı gibi bir birim köke sahip olabilir. Sonlu örnek birim kökler dahil birinci dereceden ARMA hataları ile regresyon modelleri özellikleri, analiz edilmiştir.

Birim kök bulunabileceği zaman tahmini

Genellikle, otoregresif modelin eğim katsayılarını tahmin etmek için sıradan en küçük kareler (OLS) kullanılır . OLS kullanımı stokastik sürecin durağan olmasına dayanır. Stokastik süreç durağan olmadığında, OLS kullanımı geçersiz tahminler üretebilir. Granger yüksek: ve Newbold, bu tür değerlendirme 'sahte regresyon' sonuçlar olarak adlandırılır R ² değeri ve yüksek t-oranları hiçbir ekonomik anlam sonuçlar elde edilmiştir.

Eğim katsayılarını tahmin etmek için, önce bir birim kökün mevcut olduğu sıfır hipotezi olan bir birim kök testi yapılmalıdır . Bu hipotez reddedilirse, OLS kullanılabilir. Ancak birim kökün varlığı reddedilmiyorsa, seriye fark operatörü uygulanmalıdır . Başka bir birim kök testi, farkı alınan zaman serisinin durağan olduğunu gösteriyorsa, eğim katsayılarını tahmin etmek için bu seriye OLS uygulanabilir.

Örneğin, AR(1) durumunda, durağandır. ${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

AR(2) durumunda, L'nin bir değişkenin zaman indeksini bir periyot azaltan bir gecikme operatörü olduğu şekilde yazılabilir : . Eğer , model birim köke sahip ve biz tanımlayabilir ; sonra ${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$${\displaystyle \lambda _{2}=1}$${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

ise durağandır . OLS, eğim katsayısını tahmin etmek için kullanılabilir, . ${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

İşlemin birden fazla birim kökü varsa, fark operatörü birden çok kez uygulanabilir.

Birim kök süreçlerinin özellikleri ve özellikleri

• Bir birim kök sürecine yönelik şoklar, süreç durağan olsaydı olacağı gibi bozulmayan kalıcı etkilere sahiptir.
• Yukarıda belirtildiği gibi, bir birim kök süreci t'ye bağlı bir varyansa sahiptir ve sonsuza ıraksar.
• Bir serinin birim köke sahip olduğu biliniyorsa, seriyi durağan hale getirmek için farkları alınabilir. Örneğin, bir seri I(1) ise, seri I(0)'dır (durağan). Bu nedenle, bir fark durağan serisi olarak adlandırılır .${\görüntüleme stili Y_{t}}$${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Birim kök hipotezi

Yukarıdaki diyagram, potansiyel bir birim kök örneğini göstermektedir. Kırmızı çizgi, çıktıda gözlemlenen bir düşüşü temsil eder. Yeşil, serinin birim kökü varsa kurtarma yolunu gösterir. Mavi, birim kök yoksa ve seri trend-durağan ise toparlanmayı gösterir. Yeşil çizgi kalıcı olarak trendin altında kalırken mavi çizgi, kesikli trend çizgisini karşılamak ve takip etmek için geri döner. Birim kök hipotezi ayrıca, çıktıdaki bir artışın, geçmiş eğilimden daha yüksek çıktı seviyelerine yol açacağını da kabul eder.

Ekonomistler, başta çıktı olmak üzere çeşitli ekonomik istatistiklerin birim köke sahip olup olmadığını veya trend-durağan olup olmadığını tartışırlar . Birinci mertebeden durumda, kaymalı bir birim kök süreci şu şekilde verilmektedir:

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

burada c , "sürüklenme" terimi olarak adlandırılan sabit bir terimdir ve beyaz gürültüdür. Gürültü teriminin sıfır olmayan herhangi bir değeri, sadece bir periyot için meydana geldiğinde , grafikte gösterildiği gibi değeri kalıcı olarak etkileyecektir , bu nedenle hattan sapmalar durağan değildir; herhangi bir trend çizgisine dönüş yoktur. Buna karşılık, trend-durağan bir süreç şu şekilde verilir: ${\displaystyle e_{t}}$${\görüntüleme stili y_{t}}$${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

burada k , trendin eğimi ve gürültüdür (en basit durumda beyaz gürültü; daha genel olarak, kendi durağan otoregresif sürecini izleyen gürültü). Burada herhangi bir geçici gürültü , grafikte de gösterildiği gibi , uzun vadede trend çizgisinde olma eğilimini değiştirmeyecektir . Bu sürecin trend-durağan olduğu söylenir çünkü trend çizgisinden sapmalar durağandır. ${\ Displaystyle u_{t}}$${\görüntüleme stili y_{t}}$

Konu özellikle iş çevrimleri literatüründe popülerdir. Konuyla ilgili araştırmalar, GSMH ve diğer çıktı toplamları üzerine makaleleri bu seriler için birim kök hipotezini reddetmede başarısız olan Nelson ve Plosser ile başladı . O zamandan beri, istatistiksel yöntemlerle ilgili teknik anlaşmazlıklarla iç içe bir tartışma başladı. Bazı ekonomistler, GSYİH'nın birim kök veya yapısal kırılmaya sahip olduğunu ve ekonomik gerilemelerin uzun vadede kalıcı olarak daha düşük GSYİH seviyelerine yol açtığını ima ediyor. Diğer ekonomistler GSYİH'nın trend-durağan olduğunu savunuyorlar: Yani, bir gerileme sırasında GSYİH trendin altına düştüğünde, daha sonra trendin ima ettiği seviyeye döner ve böylece çıktıda kalıcı bir düşüş olmaz. Birim kök hipotezi ile ilgili literatür, istatistiksel yöntemler üzerine gizli tartışmalardan oluşabilirken, hipotez, ekonomik tahminler ve politikalar için önemli pratik çıkarımlar taşır.

Ayrıca bakınız

• Dickey-Fuller testi
• Artırılmış Dickey-Fuller testi
• ADF-GLS testi
• Birim kök testi
• Phillips-Perron testi
• Eşbütünleşme , birim köke sahip iki değişken arasındaki ilişkinin belirlenmesi
• Ağırlıklı simetrik birim kök testi (WS)
• KPSS testleri olarak bilinen Kwiatkowski, Phillips, Schmidt, Shin testi

Notlar