Üç doğrusal enterpolasyon - Trilinear interpolation

Üç doğrusal enterpolasyon , 3 boyutlu düzenli bir ızgara üzerinde çok değişkenli enterpolasyon yöntemidir . Kafes noktalarındaki fonksiyon verilerini kullanarak , yerel eksenel dikdörtgen prizma içindeki bir ara noktadaki bir fonksiyonun değerine doğrusal olarak yaklaşır . Rastgele, yapılandırılmamış bir ağ için ( sonlu eleman analizinde kullanıldığı gibi ), diğer enterpolasyon yöntemleri kullanılmalıdır; tüm ağ elemanları tetrahedra ise (3B basitlikler ), o zaman barycentric koordinatlar basit bir prosedür sağlar. ${\görüntüleme stili (x,y,z)}$

Üç doğrusal enterpolasyon, sayısal analizde , veri analizinde ve bilgisayar grafiklerinde sıklıkla kullanılır .

Doğrusal ve çift doğrusal enterpolasyonla karşılaştırıldığında

Trilinear interpolasyon uzantısı olan lineer interpolasyon ile mekanlarda çalışır, boyut , ve iki-doğrusal interpolasyon boyut ile çalışır, boyuta, . Bu enterpolasyon şemalarının tümü, 1. dereceden polinomları kullanır, 2. derece bir doğruluk verir ve enterpolasyon noktasını çevreleyen önceden tanımlanmış bitişik değerler gerektirir . 1. dereceden 3-boyutlu tensör B-spline enterpolasyonuna eşdeğer olan trilineer enterpolasyona ulaşmanın birkaç yolu vardır ve trilinear interpolasyon operatörü aynı zamanda 3 lineer enterpolasyon operatörünün bir tensör ürünüdür. ${\görüntüleme stili D=1}$${\görüntüleme stili D=2}$${\görüntüleme stili D=3}$${\ Displaystyle 2^{D}=8}$

Yöntem

C enterpolasyon noktasını çevreleyen bir küp üzerinde sekiz köşe noktası

3D enterpolasyonun tasviri

Üç doğrusal enterpolasyonun geometrik bir görselleştirmesi. İstenilen noktadaki değerin çarpımı ve tüm hacim, her köşedeki değerin çarpımları ile köşenin çapraz karşısındaki kısmi hacmin toplamına eşittir.

Periyodik ve kübik kafes üzerine izin , ve olmak farklılıklar her biri arasında , , ve daha küçük ilgili koordinat, yani: ${\displaystyle x_{\metin{d}}}$${\displaystyle y_{\metin{d}}}$${\displaystyle z_{\metin{d}}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{\text{d}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\y_{\text{d} }={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}\\z_{\text{d}}={\frac {z-z_{0}}{z_{ 1}-z_{0}}}\end{hizalı}}}$

burada aşağıdaki kafes noktasını gösterir , ve yukarıda örgü noktasına işaret eder ve benzer bir şekilde için ve . ${\görüntüleme stili x_{0}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili x_{1}}$${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle y_{0},y_{1},z_{0}}$${\displaystyle z_{1}}$

İlk önce enterpolasyon yaparız ( ile tanımlanan küpün yüzünü, ile tanımlanan karşı yüze "ittiğimizi" hayal edin ), vererek: ${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle C_{0jk}}$${\displaystyle C_{1jk}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{00}&=c_{000}(1-x_{\text{d}})+c_{100}x_{\text{d}}\\c_{01} &=c_{001}(1-x_{\text{d}})+c_{101}x_{\text{d}}\\c_{10}&=c_{010}(1-x_{\text {d}})+c_{110}x_{\text{d}}\\c_{11}&=c_{011}(1-x_{\text{d}})+c_{111}x_{\ metin{d}}\end{hizalı}}}$

Nerede fonksiyon değeri anlamına gelir O zaman bu değerleri enterpolasyona tabi tutarız ( 'den ' a "iterek" ), şunu veririz : ${\ Displaystyle c_{000}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}).}$${\görüntüleme stili y}$${\displaystyle C_{i0k}}$${\displaystyle C_{i1k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=c_{00}(1-y_{\text{d}})+c_{10}y_{\text{d}}\\c_{1} &=c_{01}(1-y_{\text{d}})+c_{11}y_{\text{d}}\end{hizalı}}}$

Son olarak, bu değerleri enterpole ediyoruz (bir çizgiden geçerek): ${\görüntüleme stili z}$

${\displaystyle c=c_{0}(1-z_{\text{d}})+c_{1}z_{\text{d}}.}$

Bu bize nokta için tahmin edilen bir değer verir.

Trilinear enterpolasyonun sonucu, üç eksen boyunca enterpolasyon adımlarının sırasından bağımsızdır: örneğin, boyunca , sonra boyunca ve son olarak birlikte herhangi bir başka düzen aynı değeri üretir. ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili z}$

Yukarıdaki işlemler şu şekilde görselleştirilebilir: İlk önce ilgi noktamızı çevreleyen bir küpün sekiz köşesini buluyoruz. Bu köşeler , , , , , , , değerlerine sahiptir . ${\ Displaystyle c_{000}}$${\ Displaystyle c_{100}}$${\ Displaystyle c_{010}}$${\ Displaystyle c_{110}}$${\ Displaystyle c_{001}}$${\displaystyle c_{101}}$${\displaystyle c_{011}}$${\displaystyle c_{111}}$

Sonra, arasındaki doğrusal enterpolasyondur ve bulmak için , ve bulmak için , ve bulmak için , ve bulmak için . ${\ Displaystyle c_{000}}$${\ Displaystyle c_{100}}$${\görüntüleme stili c_{00}}$${\ Displaystyle c_{001}}$${\displaystyle c_{101}}$${\ Displaystyle c_{01}}$${\displaystyle c_{011}}$${\displaystyle c_{111}}$${\ Displaystyle c_{11}}$${\ Displaystyle c_{010}}$${\ Displaystyle c_{110}}$${\ Displaystyle c_{10}}$

Şimdi arasındaki interpolasyon yapmak ve bulmak için , ve bulmak için . Son olarak, değeri doğrusal enterpolasyon yoluyla hesaplıyoruz ve${\görüntüleme stili c_{00}}$${\ Displaystyle c_{10}}$${\görüntüleme stili c_{0}}$${\ Displaystyle c_{01}}$${\ Displaystyle c_{11}}$${\görüntüleme stili c_{1}}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili c_{0}}$${\görüntüleme stili c_{1}}$

Pratikte, bir üç doğrusal enterpolasyon, doğrusal bir enterpolasyonla birleştirilmiş iki çift doğrusal enterpolasyonla aynıdır :

${\displaystyle c\yaklaşık l\left(b(c_{000},c_{010},c_{100},c_{110}),\,b(c_{001},c_{011},c_{101 },c_{111})\sağ)}$

alternatif algoritma

Enterpolasyon probleminin çözümünü yazmanın alternatif bir yolu şudur:

${\displaystyle f(x,y,z)\yaklaşık a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_{4}xy+a_{5}xz+a_{ 6}yz+a_{7}xyz}$

lineer sistem çözülerek katsayıların bulunduğu yer

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{0}&y_{0}&z_{0}&x_{0}y_{0}&x_{0}z_{0}&y_{0}z_{0 }&x_{0}y_{0}z_{0}\\1&x_{1}&y_{0}&z_{0}&x_{1}y_{0}&x_{1}z_{0}&y_{0}z_{0 }&x_{1}y_{0}z_{0}\\1&x_{0}&y_{1}&z_{0}&x_{0}y_{1}&x_{0}z_{0}&y_{1}z_{0 }&x_{0}y_{1}z_{0}\\1&x_{1}&y_{1}&z_{0}&x_{1}y_{1}&x_{1}z_{0}&y_{1}z_{0 }&x_{1}y_{1}z_{0}\\1&x_{0}&y_{0}&z_{1}&x_{0}y_{0}&x_{0}z_{1}&y_{0}z_{1 }&x_{0}y_{0}z_{1}\\1&x_{1}&y_{0}&z_{1}&x_{1}y_{0}&x_{1}z_{1}&y_{0}z_{1 }&x_{1}y_{0}z_{1}\\1&x_{0}&y_{1}&z_{1}&x_{0}y_{1}&x_{0}z_{1}&y_{1}z_{1 }&x_{0}y_{1}z_{1}\\1&x_{1}&y_{1}&z_{1}&x_{1}y_{1}&x_{1}z_{1}&y_{1}z_{1 }&x_{1}y_{1}z_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_ {4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{000}\\c_{100}\\c_{010} \\c_{110}\\c_{001}\\c_{101}\\c_{011}\\c_{111}\end{bmatrix}},\end{hizalı}}}$

sonucu veren

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{0}={}&{\frac {-c_{000}x_{1}y_{1}z_{1}+c_{001}x_{1}y_{1 }z_{0}+c_{010}x_{1}y_{0}z_{1}-c_{011}x_{1}y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1) })(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}+{}\\&{\frac {c_{100}x_{0}y_{1}z_{ 1}-c_{101}x_{0}y_{1}z_{0}-c_{110}x_{0}y_{0}z_{1}+c_{111}x_{0}y_{0}z_ {0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{1} ={}&{\frac {c_{000}y_{1}z_{1}-c_{001}y_{1}z_{0}-c_{010}y_{0}z_{1}+c_{011 }y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}+{}\ \&{\frac {-c_{100}y_{1}z_{1}+c_{101}y_{1}z_{0}+c_{110}y_{0}z_{1}-c_{111} y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt ]a_{2}={}&{\frac {c_{000}x_{1}z_{1}-c_{001}x_{1}z_{0}-c_{010}x_{1}z_{1 }+c_{011}x_{1}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})} }+{}\\&{\frac {-c_{100}x_{0}z_{1}+c_{101}x_{0}z_{0}+c_{110}x_{0}z_{1} -c_{111}x_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}} ,\\[4pt]a_{3}={}&{\frac {c_{000}x_{1}y_{1}-c_{001}x_{1}y_{1}-c_{010}x_{ 1}y_{0}+c_{011}x_{1}y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_ {1})}}+{}\\&{\frac {-c_{100}x_{0}y_{1}+c_{101}x_{0}y_{1}+c_{110}x_{0 }y_{0}-c_{111}x_{0}y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{ 1})}},\\[4pt]a_{4}={}&{\frac {-c_{000}z_{1}+c_{001}z_{0}+c_{010}z_{1} -c_{011}z_{0}+c_{100}z_{1}-c_{101}z_{0}-c_{110}z_{1}+c_{111}z_{0}}{(x_{ 0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{5}=&{\frac {-c_ {000}y_{1}+c_{001}y_{1}+c_{010}y_{0}-c_{011}y_{0}+c_{100}y_{1}-c_{101}y_{ 1}-c_{110}y_{0}+c_{111}y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}- z_{1})}},\\[4pt]a_{6}={}&{\frac {-c_{000}x_{1}+c_{001}x_{1}+c_{010}x_{ 1}-c_{011}x_{1}+c_{100}x_{0}-c_{101}x_{0}-c_{110}x_{0}+c_{111}x_{0}}{( x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{7}={}&{\ frac {c_{000}-c_{001}-c_{010}+c_{011}-c_{100}+c_{101}+c_{110}-c_{111}}{(x_{0}-x_ {1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}.\end{hizalı}}}$

Ayrıca bakınız

• Doğrusal enterpolasyon
• çift ​​doğrusal enterpolasyon
• trikübik enterpolasyon
• Radyal enterpolasyon
• dörtyüzlü enterpolasyon

Dış bağlantılar

• NASA'dan alınan sözde kod, yinelemeli bir ters üç doğrusal enterpolasyonu tanımlar (köşeler ve C find Xd, Yd ve Zd'nin değeri göz önüne alındığında).
• Paul Bourke, İnterpolasyon yöntemleri , 1999. İkili mantığa dayanan ve herhangi bir boyuta genişletilebilen (Tetralinear, Pentalinear, ...) trilinear interpolasyonu bulmak için çok akıllı ve basit bir yöntem içerir.
• Kenwright, Serbest Biçimli Tetrahedron Deformasyonu. Uluslararası Görsel Hesaplama Sempozyumu. Springer Uluslararası Yayıncılık, 2015 [1] .