Toroidal ve poloidal koordinatlar - Toroidal and poloidal coordinates

Kırmızı okla temsil edilen poloidal ( ) yönü ve mavi okla gösterilen toroidal ( veya ) yönü gösteren bir diyagram . ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ phi}$

Terimleri , toroidal ve poloidal bir referans torus göre yönlere değinmektedir. Poloidal yön, yüzey çevresinde küçük bir dairesel halkayı takip ederken, toroidal yön, simitin etrafında merkezi boşluğu çevreleyen büyük bir dairesel halkayı takip eder.

Oxford İngilizce Sözlüğü (OED) tarafından alıntılanan bu terimlerin en eski kullanımı , çekirdekteki akımlar tarafından Dünya'nın manyetik alanının oluşturulması bağlamında Walter M. Elsasser (1946) tarafından yapılmıştır. enlem ve "poloidal" manyetik alan yönündedir (yani kutuplara doğru).

OED ayrıca, manyetik hapsetme füzyonunda karşılaşıldığı gibi, toroidal olarak sınırlı plazmalar bağlamında bu terimlerin daha sonraki kullanımını da kaydeder . Plazma bağlamda, simit şekilli yön torus çevresinde uzun bir yol olduğunu, karşılık gelen referans numarası ile gösterilmiştir koordinat z levha uyumu veya veya manyetik koordinatlarında; poloidal yön simitin etrafındaki kısa yoldur, karşılık gelen koordinat levha yaklaşımında veya manyetik koordinatlarda y ile gösterilir . (Üçüncü yönü, manyetik yüzeylere normal genellikle ile gösterilen, "radyal yönde" olarak adlandırılır x levha uyumu ve çeşitli , , r , veya s manyetik koordinatlarda.) ${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ rho}$

Misal

Manyetik olarak sınırlandırılmış plazmaların fiziğinden basit bir örnek olarak, dairesel, eşmerkezli manyetik akı yüzeyleri yarıçaplı bir eksenel simetrik sistemi düşünün (erken bir tokamakta manyetik alan geometrisine kaba bir yaklaşım, ancak iç içe akı ile herhangi bir toroidal manyetik hapsetme sistemine topolojik olarak eşdeğerdir. yüzeyler) ve toroidal açıyı ve poloidal açıyı by ile gösterir . Daha sonra Toroidal / Poloidal koordinat sistemi , bu dönüşüm kurallarına göre standart Kartezyen Koordinatlarla ilgilidir : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ zeta}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle x = (R_ {0} + r \ cos \ theta) \ cos \ zeta}$

${\ displaystyle y = s _ {\ zeta} (R_ {0} + r \ cos \ theta) \ sin \ zeta}$

${\ displaystyle z = s _ {\ theta} r \ sin \ theta.}$

nerede . ${\ displaystyle s _ {\ theta} = \ pm 1, s _ {\ zeta} = \ pm 1}$

Geometrik olarak doğal seçim , yukarıdaki şekilde oklarla gösterilen toroidal ve poloidal yönleri vererek almaktır , ancak bu solak bir eğrisel koordinat sistemi oluşturur. Genellikle kurma kabul gibi akı koordinat grubu olduğu manyetik olarak plazmalar tarif eden bir formları doğru koordinat sistemi elli, biz ya alınıp daha poloidal yönlerini değiştirmeleri gerekmektedir veya alarak, toroidal yönünü tersine . Literatürde her iki seçenek de kullanılmaktadır. ${\ displaystyle s _ {\ theta} = s _ {\ zeta} = + 1}$${\ displaystyle r, \ theta, \ zeta}$${\ displaystyle r, \ theta, \ zeta}$${\ displaystyle \ nabla r \ cdot \ nabla \ theta \ times \ nabla \ zeta> 0}$${\ displaystyle s _ {\ theta} = - 1, s _ {\ zeta} = + 1}$${\ displaystyle s _ {\ theta} = + 1, s _ {\ zeta} = - 1}$

Kinematik

Toroid olarak sınırlı plazma cihazlarında tek parçacık hareketini incelemek için hız ve ivme vektörlerinin bilinmesi gerekir. Doğal seçim göz önüne alındığında, toroidal ve poloidal koordinat sisteminin birim vektörleri şu şekilde ifade edilebilir: ${\ displaystyle s _ {\ theta} = s _ {\ zeta} = + 1}$${\ displaystyle \ sol (r, \ teta, \ zeta \ sağ)}$

${\ displaystyle \ mathbf {e} _ {r} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta \ cos \ zeta \\\ cos \ theta \ sin \ zeta \\\ sin \ theta \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {e} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ theta \ cos \ zeta \\ - \ sin \ theta \ sin \ zeta \\\ cos \ theta \ end {pmatrix}} \ quad \ mathbf {e} _ {\ zeta} = {\ begin {pmatrix} - \ sin \ zeta \\\ cos \ zeta \\ 0 \ end {pmatrix}}}$

Kartezyen koordinatlara göre. Konum vektörü şu şekilde ifade edilir:

${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ sol (r + R_ {0} \ cos \ theta \ sağ) \ mathbf {e} _ {r} -R_ {0} \ sin \ theta \ mathbf {e} _ { \ theta}}$

Hız vektörü daha sonra şu şekilde verilir:

${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {r}} = {\ dot {r}} \ mathbf {e} _ {r} + r {\ dot {\ theta}} \ mathbf {e} _ {\ theta} + {\ nokta {\ zeta}} \ left (R_ {0} + r \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {\ zeta}}$

ve ivme vektörü:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ ddot {r}} = {} & \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ theta}} ^ {2} -r {\ nokta {\ zeta}} ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta -R_ {0} {\ dot {\ zeta}} ^ {2} \ cos \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {r } \\ [5pt] & {} + \ left (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} + r {\ ddot {\ theta}} + r {\ dot {\ zeta}} ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta + R_ {0} {\ dot {\ zeta}} ^ {2} \ sin \ theta \ right) \ mathbf {e} _ {\ theta} \\ [5pt] & {} + \ left (2 {\ dot {r}} {\ dot {\ zeta}} \ cos \ theta -2r {\ dot {\ theta}} {\ dot {\ zeta}} \ sin \ theta + {\ ddot {\ zeta}} \ left (R_ {0} + r \ cos \ theta \ right) \ right) \ mathbf {e} _ {\ zeta} \ end {hizalı}}}$

Ayrıca bakınız

• Toroidal koordinatlar
• Torus
• Bölgesel ve poloidal
• Poloidal-toroidal ayrışma
• Bölgesel akış (plazma)

Referanslar

• "Oxford English Dictionary Online" . poloidal . Oxford University Press . Erişim tarihi: 2007-08-10 .
• Elsasser, WM (1946). "Karasal Manyetizmada İndüksiyon Etkileri, Bölüm I. Teori" . Phys. Rev . 69 (3–4): 106–116. doi : 10.1103 / PhysRev.69.106 . Erişim tarihi: 2007-08-10 .