Robbins beşgeni - Robbins pentagon

Matematikte çözülmemiş problem :

Bir Robbins beşgeninin irrasyonel köşegenleri olabilir mi?

(matematikte daha fazla çözülmemiş problem)
13.104 alana sahip bir Robbins beşgeni
7392 alana sahip bir Robbins beşgeni

İn geometrisi , bir Robbins beşgen a, siklik beşgen olan yan uzunlukları ve alan hepsi rasyonel sayılar .

Tarih

Robbins beşgenler denilecek Buchholz ve MacDougall (2008) sonra David P. Robbins , daha önce de kenar uzunluklarının bir fonksiyonu olarak bir siklik beşgen alanı için bir formül vermişti. Buchholz ve MacDougall, Heron üçgenlerinin kenar uzunluklarının bir fonksiyonu olarak bir üçgenin alanı için formülünü keşfeden İskenderiye Kahramanı'ndan sonra Heron üçgenlerinin adlandırılmasına benzeterek bu ismi seçtiler .

Alan ve çevre

Her Robbins beşgeni, kenarları ve alanı tamsayı olacak şekilde ölçeklenebilir. Daha güçlü olarak, Buchholz ve MacDougall, kenar uzunluklarının tümü tamsayıysa ve alan rasyonel ise, o zaman alanın mutlaka bir tam sayı olduğunu ve çevrenin mutlaka bir çift ​​sayı olduğunu gösterdi .

köşegenler

Buchholz ve MacDougall ayrıca, her Robbins beşgeninde, iç köşegenlerin beşinin de rasyonel sayılar olduğunu veya hiçbirinin rasyonel sayı olmadığını gösterdi. Beş köşegen rasyonel ise ( Sastry (2005) tarafından Brahmagupta beşgeni olarak adlandırılan durum ), o zaman çevrelenmiş dairesinin yarıçapı da rasyonel olmalıdır ve beşgen, herhangi iki olmayan boyunca kesilerek üç Heron üçgenine bölünebilir. köşegenleri çaprazlayarak veya daire merkezinden köşelerine kadar beş yarıçap boyunca keserek beş Heron üçgeni halinde.

Buchholz ve MacDougall, irrasyonel köşegenlere sahip Robbins beşgenleri için hesaplamalı aramalar yaptılar, ancak hiçbirini bulamadılar. Bu olumsuz sonuca dayanarak, irrasyonel köşegenleri olan Robbins beşgenlerinin var olmayabileceğini öne sürdüler.

Referanslar

  • Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008), "Rasyonel kenarları ve alanı olan döngüsel çokgenler" , Journal of Number Theory , 128 (1): 17–48, doi : 10.1016/j.jnt.2007.5.005 , MR  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), "Bir daire içine çizilmiş çokgen alanları", Ayrık ve Hesaplamalı Geometri , 12 (2): 223–236, doi : 10.1007/BF02574377 , MR  1283889
  • Robbins, David P. (1995), "Bir daire içinde yazılı çokgen alanları", The American Mathematical Monthly , 102 (6): 523–530, doi : 10.2307/2974766 , JSTOR  2974766 , MR  1336638.
  • Sastry, KRS (2005), "Brahmagupta n-gons İnşaatı" (PDF) , Forum Geometricorum , 5 : 119–126 , MR  2195739.