dörtgen -Quadrilateral

dörtgen
Bazı dörtgen türleri
Kenarlar ve köşeler	4
Schläfli sembolü	{4} (kare için)
Alan	çeşitli metodlar; aşağıya bakınız
İç açı ( derece )	90° (kare ve dikdörtgen için)

Geometride bir dörtgen , dört kenarı (yanları) ve dört köşesi (köşeleri) olan dört kenarlı bir çokgendir . Kelime, dördün bir çeşidi olan Latince quadri ve "yan" anlamına gelen latus kelimelerinden türetilmiştir. Bunun için başka bir isim , yunanca "dört" anlamına gelen "tetra" ve "köşe" veya "açı" anlamına gelen "gon" kelimelerinden, örneğin pentagon'a benzer şekilde türetilen tetragondur . "Gon"un "açı" olması da onu üçgene benzer şekilde dörtgen , 4 açı olarak adlandırmanın kökenindedir . Köşeleri , ve olan bir dörtgen bazen olarak gösterilir . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili \kare ABCD}$

Dörtgenler ya basit (kendiyle kesişmeyen) ya da karmaşıktır (kendini kesen veya çapraz). Basit dörtgenler ya dışbükey ya da içbükeydir .

Basit (ve düzlemsel) bir ABCD dörtgeninin iç açıları , 360 derecelik bir yay ekler , yani

${\displaystyle \açı A+\açı B+\açı C+\açı D=360^{\circ }.}$

Bu, n -gon iç açı toplamı formülünün özel bir halidir: ( n − 2) × 180°.

Kendinden kesişmeyen tüm dörtgenler , kenarlarının orta noktaları etrafında tekrarlanan dönüşlerle düzlemi döşer.

Basit dörtgenler

Kendiyle kesişmeyen herhangi bir dörtgen basit bir dörtgendir.

dışbükey dörtgenler

Dışbükey bir dörtgende tüm iç açılar 180°'den küçüktür ve iki köşegenin her ikisi de dörtgenin içinde bulunur.

• Düzensiz dörtgen ( İngiliz İngilizcesi ) veya yamuk ( Kuzey Amerika İngilizcesi ): hiçbir kenar paralel değildir. (İngiliz İngilizcesinde buna bir zamanlar yamuk denirdi . Daha fazlası için, bkz. Yamuk § Yamuk vs Yamuk )
• Yamuk (İngiltere) veya yamuk (ABD): en az bir çift karşılıklı kenar paraleldir . Yamuk (BK) ve yamuk (ABD) paralelkenarları içerir.
• İkizkenar yamuk (UK) veya ikizkenar yamuk (ABD): Bir çift karşılıklı kenar paraleldir ve taban açıları ölçü olarak eşittir. Alternatif tanımlar, bir çift karşıt tarafı ikiye bölen simetri eksenine sahip bir dörtgen veya eşit uzunlukta köşegenleri olan bir yamuktur.
• Paralelkenar : İki çift paralel kenarı olan dörtgen. Eşdeğer koşullar, karşılıklı kenarların eşit uzunlukta olmasıdır; bu zıt açılar eşittir; veya köşegenler birbirini ortalar. Paralelkenarlar eşkenar dörtgenleri (kareler olarak adlandırılan dikdörtgenler dahil) ve eşkenar dörtgenleri (dikdörtgenler olarak adlandırılan dikdörtgenler dahil) içerir. Başka bir deyişle, paralelkenarlar tüm eşkenar dörtgenleri ve tüm eşkenar dörtgenleri içerir ve dolayısıyla tüm dikdörtgenleri de içerir.
• Eşkenar dörtgen , eşkenar dörtgen: dört kenarı da eşit uzunluktadır (eşkenar). Eşdeğer bir koşul, köşegenlerin birbirini dik olarak ikiye ayırmasıdır. Gayri resmi olarak: "itilmiş bir kare" (ancak kesinlikle bir kare de dahil).
• Rhomboid : Bitişik kenarların eşit olmayan uzunluklarda olduğu ve bazı açıların eğik olduğu bir paralelkenar (eşdeğer, dik açıları yoktur). Gayri resmi olarak: "bir itilmiş dikdörtgen". Tüm referanslar aynı fikirde değildir, bazıları eşkenar dörtgeni eşkenar dörtgen olmayan bir paralelkenar olarak tanımlar.
• Dikdörtgen : dört açının tümü dik açıdır (eş açısal). Eşdeğer bir koşul, köşegenlerin birbirini ortalaması ve uzunluklarının eşit olmasıdır. Dikdörtgenler, kareleri ve dikdörtgenleri içerir. Gayri resmi olarak: "bir kutu veya dikdörtgen" (bir kare dahil).
• Kare (düzenli dörtgen): dört kenarın tamamı eşit uzunluktadır (eşkenar) ve dört açının tümü dik açıdır. Eşdeğer bir koşul, karşılıklı kenarların paralel olması (kare bir paralelkenardır) ve köşegenlerin birbirini dik olarak ortalaması ve eşit uzunlukta olmasıdır. Bir dörtgen, ancak ve ancak hem eşkenar dörtgen hem de dikdörtgen ise (yani, dört eşit kenar ve dört eşit açı) bir karedir.
• Oblong : Genişten daha uzun veya uzundan daha geniş (yani, kare olmayan bir dikdörtgen).
• Uçurtma : İki çift bitişik kenar eşit uzunluktadır. Bu, bir köşegenin uçurtmayı eş üçgenlere böldüğü anlamına gelir ve bu nedenle iki eşit kenar çifti arasındaki açılar ölçü olarak eşittir. Ayrıca köşegenlerin dik olduğu anlamına gelir. Uçurtmalar eşkenar dörtgen içerir.

• Teğetsel dörtgen : dört kenar yazılı bir daireye teğettir. Dışbükey bir dörtgen, ancak ve ancak karşı tarafların toplamları eşitse teğettir.
• Teğetsel yamuk : dört kenarı yazılı bir daireye teğet olan yamuk .
• Döngüsel dörtgen : dört köşe, sınırlandırılmış bir daire üzerinde bulunur . Bir dışbükey dörtgen, ancak ve ancak karşıt açıların toplamı 180° ise döngüseldir.
• Sağ uçurtma : İki dik açıya sahip uçurtma. Bir tür döngüsel dörtgendir.
• Harmonik dörtgen : Karşılıklı kenarların uzunluklarının çarpımı eşittir. Bir tür döngüsel dörtgendir.
• İki merkezli dörtgen : hem teğet hem de döngüseldir.
• Ortodiyagonal dörtgen : köşegenler dik açılarda kesişir .
• Eş köşegen dörtgen : Köşegenlerin uzunlukları eşittir.
• Teğet dışı dörtgen : kenarların dört uzantısı bir dış çembere teğettir .
• Bir eş dörtgen , uzatıldığında 60°'de buluşan karşılıklı iki eşit kenara sahiptir.
• Bir Watt dörtgeni , eşit uzunlukta bir çift karşılıklı kenarı olan bir dörtgendir.
• Dörtgen dörtgen, dört köşesi bir karenin çevresinde bulunan dışbükey bir dörtgendir .
• Çapsal bir dörtgen , bir kenarlarından birinin çevresinin çapı olan döngüsel bir dörtgendir.
• Bir Hjelmslev dörtgeni , zıt köşelerde iki dik açıya sahip bir dörtgendir.

içbükey dörtgenler

İçbükey bir dörtgende bir iç açı 180°'den büyüktür ve iki köşegenden biri dörtgenin dışındadır.

• Dart (veya ok başı), uçurtma gibi iki taraflı simetriye sahip, ancak bir iç açının refleks olduğu içbükey bir dörtgendir. Bkz . Uçurtma .

Karmaşık dörtgenler

Kendinden kesişen bir dörtgen, çeşitli şekillerde çapraz dörtgen , çapraz dörtgen , kelebek dörtgeni veya papyon dörtgeni olarak adlandırılır . Çapraz bir dörtgende, kesişimin her iki yanındaki dört "iç" açı (iki dar ve iki refleks , şekil çizildiği gibi tümü solda veya tümü sağda) 720°'ye kadar çıkar.

• Çapraz yamuk (ABD) veya yamuk (İngiliz Milletler Topluluğu): Bir çift bitişik olmayan kenarın paralel olduğu çapraz bir dörtgen ( yamuk gibi )
• Antiparalelkenar : Bitişik olmayan kenarların her bir çiftinin eşit uzunluklara sahip olduğu çapraz bir dörtgen ( paralelkenar gibi )
• Çapraz dikdörtgen : Kenarları iki zıt kenar ve bir dikdörtgenin iki köşegeni olan bir antiparalelkenar , dolayısıyla bir çift paralel zıt kenara sahip
• Çapraz kare : Kenarlarından ikisinin dik açılarda kesiştiği özel bir çapraz dikdörtgen durumu

Özel hat segmentleri

Bir dışbükey dörtgenin iki köşegeni , zıt köşeleri birleştiren doğru parçalarıdır .

Bir dışbükey dörtgenin iki bimedyanı , karşı tarafların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarıdır. Dörtgenin "köşe merkezinde" kesişirler ( aşağıda § Dışbükey bir dörtgende dikkat çekici noktalar ve çizgilere bakın).

Bir dışbükey dörtgenin dört maltitude , bir kenara dik açılardır - karşı tarafın orta noktası boyunca.

Dışbükey bir dörtgen alanı

Kenarları a = AB , b = BC , c = CD ve d = DA olan bir dışbükey ABCD dörtgeninin K alanı için çeşitli genel formüller vardır .

trigonometrik formüller

Alan trigonometrik terimlerle şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}\sin \theta,}$

burada köşegenlerin uzunlukları p ve q ve aralarındaki açı θ'dir . Bir ortodiyagonal dörtgen durumunda (örneğin, eşkenar dörtgen, kare ve uçurtma), θ 90 ° olduğundan bu formül azalır . ${\displaystyle K={\tfrac {pq}{2}}}$

Alan ayrıca bimedyan cinsinden şu şekilde ifade edilebilir:

${\ Displaystyle K=2dk\sin \varphi ,}$

burada bimedyanların uzunlukları m ve n ve aralarındaki açı φ'dir .

Bretschneider'in formülü , alanı kenarlar ve iki zıt açı cinsinden ifade eder:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C) )]}}\\&={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-abcd\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {A+C}{2}} \sağ)\sağ]}}\end{hizalı}}}$

burada kenarlar sırayla a , b , c , d' dir , burada s yarı çevredir ve A ve C iki (aslında herhangi iki) zıt açıdır. Bu, Brahmagupta'nın döngüsel bir dörtgen alanı formülüne indirgenir - A + C = 180° olduğunda .

C açısının b ve c kenarları arasında ve A'nın a ve d kenarları arasında olduğu, kenarlar ve açılar açısından başka bir alan formülü şöyledir:

${\displaystyle K={\frac {ad}{2}}\sin {A}+{\frac {bc}{2}}\sin {C}.}$

Döngüsel bir dörtgen durumunda, ikinci formül şöyle olur:${\displaystyle K={\frac {ad+bc}{2}}\sin {A}.}$

Karşılıklı kenar ve açıların her ikisinin de eşit olduğu bir paralelkenarda, bu formül şuna indirgenir:${\displaystyle K=ab\cdot \sin {A}.}$

Alternatif olarak, alanı, θ uzunluğu 90° olmadığı sürece, kenarları ve köşegenlerin kesişim açısı θ cinsinden yazabiliriz :

${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{4}}\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right |.}$

Paralelkenar durumunda, ikinci formül şöyle olur:${\displaystyle K={\frac {|\tan \theta |}{2}}\cdot \left|a^{2}-b^{2}\sağ|.}$

a , b , c , d kenarlarını içeren başka bir alan formülü

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(2(a^{2}+c^{2})-4x^{2})(2(b^{2}+d^{2})- 4x^{2})}}{4}}\sin {\varphi }}$

burada x köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafedir ve φ bimedyenler arasındaki açıdır .

a , b , c , d kenarlarını ve α açısını ( a ile b arasında) içeren son trigonometrik alan formülü şöyledir:

${\displaystyle K={\frac {ab}{2}}\sin {\alpha }+{\frac {\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{ 2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cdot \cos {\alpha })^{2}}}{4}},}$

bu aynı zamanda sadece ilk işaret + ile - değiştirilerek bir içbükey dörtgenin alanı için de kullanılabilir (içbükey kısmı α açısının karşısındadır) .

trigonometrik olmayan formüller

Aşağıdaki iki formül alanı a , b , c ve d kenarları , s yan çevresi ve p , q köşegenleri cinsinden ifade eder :

${\displaystyle K={\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)-{\tfrac {ac+bd+pq}{4}}(ac+bd-pq)}},}$

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\ sağ)^{2}}}{4}}.}$

İlki, o zamandan beri pq = ac + bd olduğundan, döngüsel dörtgen durumunda Brahmagupta'nın formülüne indirgenir .

Alan ayrıca m , n bimedyanları ve p , q köşegenleri cinsinden ifade edilebilir :

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {(m+n+p)(m+np)(m+n+q)(m+nq)}}{2}},}$

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}{2}}.}$

Aslında, m , n , p ve q dört değerinden herhangi üçü , alanın belirlenmesi için yeterlidir, çünkü herhangi bir dörtgende dört değer, karşılık gelen ifadelerle ilişkilidir: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(mn)^{2}]}}{2 }},}$

iki bimedyan ve bir köşegenin uzunlukları verilirse ve

${\displaystyle K={\frac {\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(pq)^{2}]}}{4 }},}$

iki köşegen ve bir bimedyanın uzunlukları verilirse.

vektör formülleri

ABCD dörtgeninin alanı vektörler kullanılarak hesaplanabilir . AC ve BD vektörlerinin A'dan C'ye ve B'den D' ye köşegenleri oluşturmasına izin verin . O zaman dörtgenin alanı

${\displaystyle K={\frac {|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |}{2}},}$

bu, AC ve BD vektörlerinin çapraz çarpımının yarısı kadardır . İki boyutlu Öklid uzayında, AC vektörünü ( x ₁ , y ₁ ) ' e eşit Kartezyen uzayda bir serbest vektör olarak ve BD'yi ( x ₂ , y ₂ ) olarak ifade ederek , bu şu şekilde yeniden yazılabilir:

${\displaystyle K={\frac {|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|}{2}}.}$

köşegenler

Dörtgenlerde köşegenlerin özellikleri

Aşağıdaki tabloda en temel dörtgenlerin bazılarında köşegenlerin birbirini ortalayıp kesmediği, köşegenlerinin dik olup olmadığı ve köşegenlerinin uzunluklarının eşit olup olmadığı listelenmiştir. Liste, en genel durumlar için geçerlidir ve adlandırılmış alt kümeleri hariç tutar.

dörtgen	köşegenleri ikiye bölme	dik köşegenler	eşit köşegenler
yamuk	Numara	not 1'e bakın	Numara
ikizkenar yamuk	Numara	not 1'e bakın	Evet
Paralelkenar	Evet	Numara	Numara
uçurtma	not 2'ye bakın	Evet	not 2'ye bakın
Dikdörtgen	Evet	Numara	Evet
Eşkenar dörtgen	Evet	Evet	Numara
Meydan	Evet	Evet	Evet

Not 1: En genel yamuk ve ikizkenar yamukların dik köşegenleri yoktur, ancak sonsuz sayıda (benzer olmayan) yamuk ve ikizkenar yamuk vardır, bunlar dik köşegenlere sahiptir ve başka bir adlandırılmış dörtgen değildir.

Not 2: Bir uçurtmada köşegenlerden biri diğerini ikiye böler. En genel uçurtma eşit olmayan köşegenlere sahiptir, ancak köşegenlerin eşit uzunlukta olduğu sonsuz sayıda (benzer olmayan) uçurtma vardır (ve uçurtmalar başka herhangi bir dörtgen değildir).

köşegen uzunlukları

Bir dışbükey ABCD dörtgenindeki köşegenlerin uzunlukları, dörtgenin bir köşegeni ve iki kenarı tarafından oluşturulan her üçgende kosinüs yasası kullanılarak hesaplanabilir . Böylece

${\displaystyle p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos { D}}}}$

ve

${\displaystyle q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos { C}}}.}$

Köşegenlerin uzunlukları için diğer daha simetrik formüller şunlardır:

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}}$

ve

${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.}$

Paralelkenar yasasının ve Ptolemy teoreminin genellemeleri

Herhangi bir dışbükey ABCD dörtgeninde , dört kenarın karelerinin toplamı, iki köşegenin karelerinin toplamı ile köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçasının karesinin dört katına eşittir. Böylece

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}}$

x , köşegenlerin orta noktaları arasındaki mesafedir. Bu bazen Euler'in dörtgen teoremi olarak bilinir ve paralelkenar yasasının bir genellemesidir .

Alman matematikçi Carl Anton Bretschneider , 1842'de, Ptolemy teoreminin , dışbükey bir dörtgende köşegenlerin çarpımı ile ilgili aşağıdaki genelleştirmesini elde etti.

${\displaystyle p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.}$

Bu bağıntı, bir dörtgen için bir kosinüs yasası olarak düşünülebilir . A + C = 180° olan döngüsel bir dörtgende , pq = ac + bd'ye indirgenir . cos ( A + C ) ≥ -1 olduğundan, aynı zamanda Batlamyus'un eşitsizliğinin bir kanıtını verir.

Diğer metrik ilişkiler

X ve Y , kenarları a = AB , b = BC , c = CD , d = DA olan bir dışbükey ABCD dörtgeninde B ve D' den AC = p köşegenine olan normallerin ayaklarıysa , o zaman

${\displaystyle XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.}$

Kenarları a = AB , b = BC , c = CD , d = DA olan ve köşegenlerin E noktasında kesiştiği bir dışbükey ABCD dörtgeninde ,

${\displaystyle efgh(a+c+b+d)(a+cbd)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)}$

burada e = AE , f = BE , g = CE ve h = DE .

Bir dışbükey dörtgenin şekli ve boyutu, tam olarak sırayla kenarlarının uzunlukları ve belirtilen iki köşe arasındaki bir köşegen tarafından belirlenir. Bir dörtgenin iki köşegeni p, q ve dört kenar uzunluğu a, b, c, d Cayley-Menger determinantı ile aşağıdaki gibi ilişkilidir :

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{ 2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.}$

açıortaylar

Bir dışbükey dörtgenin iç açıortayları ya döngüsel bir dörtgen oluşturur (yani, bitişik açıortayların dört kesişme noktası konsikliktir ) ya da eşzamanlıdırlar . İkinci durumda, dörtgen teğetsel bir dörtgendir .

ABCD dörtgeninde , A ve C'nin açıortayları BD köşegeninde buluşuyorsa , B ve D'nin açıortayları AC köşegeninde buluşur .

bimedyenler

Bir dörtgenin bimedyanları , karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçalarıdır . Bimedyanların kesişimi, dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir .

Herhangi bir dörtgenin (dışbükey, içbükey veya çapraz) kenarlarının orta noktaları , Varignon paralelkenar adı verilen bir paralelkenarın köşeleridir . Aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• Varignon paralelkenarının karşılıklı kenarlarının her bir çifti, orijinal dörtgendeki bir köşegene paraleldir.
• Varignon paralelkenarının bir kenarı, orijinal dörtgende paralel olduğu köşegenin yarısı kadardır.
• Varignon paralelkenarının alanı, orijinal dörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, dışbükey, içbükey ve çapraz dörtgenlerde, ikincisinin alanının, oluşturduğu iki üçgenin alanlarının farkı olarak tanımlanması şartıyla geçerlidir.
• Varignon paralelkenarının çevresi , orijinal dörtgenin köşegenlerinin toplamına eşittir.
• Varignon paralelkenarının köşegenleri, orijinal dörtgenin bimedyanlarıdır.

Bir dörtgendeki iki bimedyan ve o dörtgendeki köşegenlerin orta noktalarını birleştiren doğru parçası eşzamanlıdır ve hepsi kesişme noktalarına göre ikiye bölünür.

Kenarları a , b , c ve d olan bir dışbükey dörtgende , a ve c kenarlarının orta noktalarını birleştiren bimedyanın uzunluğu

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+ q^{2}}}}$

burada p ve q köşegenlerin uzunluğudur. b ve d kenarlarının orta noktalarını birleştiren bimedyanın uzunluğu

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q ^{2}}}.}$

Buradan

${\displaystyle \displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).}$

Bu aynı zamanda Varignon paralelkenarında uygulanan paralelkenar yasasının bir sonucudur .

Bimedyanların uzunlukları, karşılıklı iki kenar ve köşegenlerin orta noktaları arasındaki x mesafesi cinsinden de ifade edilebilir. Bu, yukarıdaki formüllerde Euler'in dörtgen teoremi kullanıldığında mümkündür. Nereden

${\displaystyle m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}}$

ve

${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.}$

Bu formüllerdeki iki zıt tarafın, bimedyanın birleştirdiği iki taraf olmadığına dikkat edin.

Dışbükey bir dörtgende, bimedyanlar ve köşegenler arasında aşağıdaki ikili bağlantı vardır:

• İki bimedyanın uzunluğu , ancak ve ancak iki köşegen dik olduğunda eşittir .
• İki bimedyan, ancak ve ancak iki köşegenin eşit uzunlukta olması durumunda diktir.

trigonometrik kimlikler

Basit bir ABCD dörtgeninin dört açısı aşağıdaki özdeşlikleri sağlar:

${\displaystyle \sin {A}+\sin {B}+\sin {C}+\sin {D}=4\sin {\frac {A+B}{2}}\sin {\frac {A+ C}{2}}\sin {\frac {A+D}{2}}}$

ve

${\displaystyle {\frac {\tan {A}\tan {B}-\tan {C}\tan {D}}{\tan {A}\tan {C}-\tan {B}\tan {D) }}}={\frac {\tan {(A+C)}}{\tan {(A+B)}}}.}$

Ayrıca,

${\displaystyle {\frac {\tan {A}+\tan {B}+\tan {C}+\tan {D}}{\cot {A}+\cot {B}+\cot {C}+) \cot {D}}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.}$

Son iki formülde, tan 90° tanımlanmadığından hiçbir açının dik açı olmasına izin verilmez .

, , , bir çapraz dörtgenin kenarları olsun , yarım çevredir ve zıt açılardır, o zaman ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili C}$

${\displaystyle ad\sin ^{2}{\frac {A}{2}}+bc\cos ^{2}{\frac {C}{2}}=(sa)(sd)}$

ve

${\displaystyle bc\sin ^{2}{\frac {C}{2}}+ad\cos ^{2}{\frac {A}{2}}=(sb)(sc)}$.

Bu kimlikleri Bretschneider Formülünü türetmek için kullanabiliriz .

eşitsizlikler

Alan

Dışbükey bir dörtgen ardışık kenarlara a , b , c , d ve p , q köşegenlerine sahipse, alanı K

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$sadece bir dikdörtgen için eşitlikle .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$sadece bir kare için eşitlik ile .

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})}$sadece köşegenler dik ve eşitse eşitlikle.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}}$sadece bir dikdörtgen için eşitlik ile.

Bretschneider formülünden , bir dörtgenin alanının

${\displaystyle K\leq {\sqrt {(sa)(sb)(sc)(sd)}}}$

eşitlikle , ancak ve ancak dörtgen döngüselse veya bir kenar diğer üçünün toplamına eşit olacak şekilde dejenereyse (bir doğru parçasına çökmüştür , dolayısıyla alan sıfırdır).

Herhangi bir dörtgenin alanı da eşitsizliği sağlar.

${\displaystyle \displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.}$

Çevreyi L olarak gösterirsek ,

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},}$

sadece bir kare durumunda eşitlik ile.

Dışbükey bir dörtgenin alanı da

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}pq}$

p ve q köşegen uzunlukları için , ancak ve ancak köşegenler dikse eşitlikle.

Alanı K olan ve köşegenleri AC = p , BD = q olan bir dışbükey ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları a , b , c , d olsun . O zamanlar

${\displaystyle K\leq {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac- bd}{8}}}$sadece bir kare için eşitlik ile.

Alanı K olan bir dışbükey ABCD dörtgeninin kenar uzunlukları a , b , c , d olsun , o zaman aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:

${\displaystyle K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{) \sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})}$sadece bir kare için eşitlik ile.

köşegenler ve bimedyenler

Euler'in dörtgen teoreminin bir sonucu eşitsizliktir.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}}$

eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir paralelkenarsa geçerlidir .

Euler ayrıca Ptolemy'nin döngüsel bir dörtgende bir eşitlik olan teoremini dışbükey bir dörtgen için bir eşitsizliğe genelleştirdi. Şu hususları belirtmektedir

${\displaystyle pq\leq ac+bd}$

eşitliğin olduğu yerde ve ancak dörtgen döngüsel ise. Buna genellikle Ptolemy eşitsizliği denir .

Herhangi bir dışbükey dörtgende m, n bimedyanları ve p, q köşegenleri eşitsizlikle ilişkilidir

${\displaystyle pq\leq m^{2}+n^{2},}$

sadece ve sadece köşegenler eşitse eşitlik sağlanır. Bu doğrudan dörtgen özdeşliğinden gelir${\displaystyle m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).}$

taraf

Herhangi bir dörtgenin a , b , c ve d kenarları tatmin edicidir

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\frac {d^{2}}{3}}}$

ve

${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\frac {d^{4}}{27}}.}$

Maksimum ve minimum özellikler

Belirli bir çevre uzunluğuna sahip tüm dörtgenler arasında en büyük alana sahip olan karedir . Buna dörtgenler için izoperimetrik teorem denir . Alan eşitsizliğinin doğrudan bir sonucudur.

${\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}}$

burada K , çevresi L olan bir dışbükey dörtgenin alanıdır . Eşitlik ancak ve ancak dörtgen bir kare ise geçerlidir. İkili teorem, belirli bir alana sahip tüm dörtgenler arasında karenin en kısa çevreye sahip olduğunu belirtir.

Kenar uzunlukları verilen ve maksimum alana sahip olan dörtgen döngüsel dörtgendir .

Köşegenleri verilen tüm dışbükey dörtgenler arasında, ortodiyagonal dörtgen en büyük alana sahiptir. Bu, dışbükey bir dörtgenin alanının aşağıdakileri sağlaması gerçeğinin doğrudan bir sonucudur.

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,}$

burada θ p ve q köşegenleri arasındaki açıdır . Eşitlik ancak ve ancak θ = 90° ise geçerlidir.

P dışbükey bir ABCD dörtgeninde bir iç nokta ise , o zaman

${\displaystyle AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.}$

Bu eşitsizlikten , köşelere olan uzaklıkların toplamını en aza indiren bir dörtgen içindeki noktanın köşegenlerin kesişimi olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla bu nokta bir dışbükey dörtgenin Fermat noktasıdır .

Dışbükey bir dörtgende dikkat çekici noktalar ve çizgiler

Bir dörtgenin merkezi birkaç farklı şekilde tanımlanabilir. "Köşe merkezi", dörtgeni boş, ancak köşelerinde eşit kütlelere sahip olarak düşünmekten gelir. "Yan ağırlık merkezi", kenarların birim uzunluk başına sabit kütleye sahip olduğunu düşünmekten gelir. Sadece ağırlık merkezi (alan merkezi) olarak adlandırılan olağan merkez, dörtgenin yüzeyinin sabit yoğunluğa sahip olduğunu düşünmekten gelir. Bu üç nokta genel olarak hepsi aynı nokta değildir.

"Köşe merkezi" iki bimedyanın kesişimidir . Herhangi bir çokgende olduğu gibi , köşe ağırlık merkezinin x ve y koordinatları, köşelerin x ve y koordinatlarının aritmetik ortalamalarıdır .

ABCD dörtgeninin "alan ağırlık merkezi" aşağıdaki şekilde oluşturulabilir. G _a , G _b , G _c , Gd sırasıyla BCD , ACD , ABD , ABC _{üçgenlerinin} ağırlık merkezleri olsun . O zaman "alan ağırlık merkezi" G _a G _c ve G _b G _d doğrularının kesişimidir .

Genel bir dışbükey dörtgen ABCD'de , bir üçgenin çevremerkezi ve ortomerkezi ile hiçbir doğal benzerlik yoktur . Ancak bu tür iki nokta aşağıdaki şekilde inşa edilebilir. O _a , O _b , O _c , O _d sırasıyla BCD , ACD , ABD , ABC üçgenlerinin çevre merkezleri olsun ; ve aynı üçgenlerdeki ortomerkezleri Ha , _H b , _H c , _H d ile _{gösterir .} Daha sonra O _a O _c ve O _b O _d doğrularının kesişimine yarıçevremerkezi denir ve H _a H _c ve H _b H _d doğrularının kesişimine dışbükey dörtgenin yarı - merkezi denir . Bu noktalar, bir dörtgenin Euler doğrusunu tanımlamak için kullanılabilir . Dışbükey bir dörtgende, quasiorthocenter H , "alan centroid" G ve quasicircumcenter O bu sırayla eşdoğrusaldır ve HG = 2 GO .

E _a , E _b , E _c , E _d , BCD , ACD üçgenlerinin dokuz noktalı merkezleri olmak üzere , E _a E _c ve E _b E _d doğrularının kesişimi olarak bir yarı-nokta merkezi E olarak da tanımlanabilir . , ABD , ABC sırasıyla. O zaman E , OH'nin orta noktasıdır .

Paralelkenar olmayan bir dışbükey dörtgende dikkat çekici bir başka çizgi, köşegenlerin orta noktalarını birleştiren Newton çizgisidir ; bu noktaları birleştiren doğru parçası, köşe merkezi tarafından ikiye bölünür. Bir başka ilginç çizgi (bir anlamda Newton'unkinin ikilidir ), köşegenlerin kesişme noktasını tepe ağırlık merkeziyle birleştiren çizgidir. Çizgi, (alan) ağırlık merkezini içermesiyle dikkat çekicidir. Köşe ağırlık merkezi, köşegenlerin kesişimini ve (alan) ağırlık merkezini 3:1 oranında birleştiren parçayı böler.

P ve Q noktaları olan herhangi bir dörtgen ABCD için AD ve BC ile AB ve CD'nin kesişimleri sırasıyla, (PAB), (PCD), (QAD) ve (QBC) çemberleri , Miquel adı verilen ortak bir M noktasından geçer. nokta.

E'nin köşegenlerin kesişme noktası ve F'nin BC ve AD kenarlarının uzantılarının kesişme noktası olduğu bir dışbükey ABCD dörtgeni için , ω , CB'yi dahili olarak M ve DA'da karşılayan E ve F'den geçen bir daire olsun . N . _ CA'nın ω ile tekrar L' de buluşmasına ve DB'nin ω ile tekrar K'da buluşmasına izin verin . O zaman şunlar olur: NK ve ML düz çizgileri AB tarafında bulunan P noktasında kesişir ; NL ve KM düz çizgileri CD'nin yan tarafında bulunan Q noktasında kesişiyor . P ve Q noktaları , AB ve CD kenarlarındaki ω çemberinin oluşturduğu “Pascal noktaları” olarak adlandırılır .

Dışbükey dörtgenlerin diğer özellikleri

• Bir dörtgenin her tarafına dış kareler çizilsin. Zıt karelerin merkezlerini birleştiren doğru parçaları (a) eşit uzunlukta ve (b) diktir . Böylece bu merkezler, ortodiyagonal bir dörtgenin köşeleridir . Buna Van Aubel teoremi denir .
• Kenar uzunlukları belirli olan herhangi bir basit dörtgen için, aynı kenar uzunluklarına sahip bir döngüsel dörtgen vardır.
• Bir dışbükey dörtgenin köşegenleri ve kenarları tarafından oluşturulan dört küçük üçgen, karşılıklı iki üçgenin alanlarının çarpımının diğer iki üçgenin alanlarının çarpımına eşit olma özelliğine sahiptir.

taksonomi

Hasse diyagramı kullanarak dörtgenlerin bir taksonomisi .

Dörtgenlerin hiyerarşik bir taksonomisi , sağdaki şekilde gösterilmiştir. Alt sınıflar, bağlı oldukları üst sınıfların özel durumlarıdır. Buradaki "yamuk" un Kuzey Amerika tanımına atıfta bulunduğunu unutmayın (İngiliz eşdeğeri bir yamuktur). Kapsayıcı tanımlar baştan sona kullanılır.

dörtgenleri çarpıt

Düzlemsel olmayan bir dörtgen, çarpık dörtgen olarak adlandırılır . Kenar uzunluklarından dihedral açılarını ve iki bitişik kenar arasındaki açıyı hesaplamak için formüller , dört atomlu "büzüşmüş" bir halka içeren siklobutan gibi moleküllerin özellikleri üzerinde çalışmak için türetildi. Tarihsel olarak gauche dörtgeni terimi , çarpık dörtgen anlamında da kullanılmıştır. Bir çarpık dörtgen köşegenleriyle birlikte (muhtemelen düzenli olmayan) bir dörtyüzlü oluşturur ve tersine her çarpık dörtgen, bir çift zıt kenarın kaldırıldığı bir dörtyüzlüden gelir .

Ayrıca bakınız

• Tam dörtgen
• Bir dörtgenin dik açıortay yapısı
• Saccheri dörtgeni
• Kafes türleri § Dörtgen
• Dörtgen (coğrafya)

Referanslar

Dış bağlantılar

• "Dörtgen, tam" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Dik Bisektörlerle Oluşturulan Dörtgenler , Projektif Doğrusallık ve Dörtgenlerin Kesintisizden Etkileşimli Sınıflandırılması
• Mathopenref'ten dörtgenlerin tanımları ve örnekleri ve tetragonların tanımları ve özellikleri
• Dinamik Geometri Çizimlerinde ( dinamik) Hiyerarşik Dörtgen Ağaç
• Dinamik Matematik Öğrenme Ana Sayfasında dörtgenlerin genişletilmiş bir sınıflandırması
• Michael de Villiers tarafından dörtgenlerin hiyerarşik bir sınıflandırmasının rolü ve işlevi