Çok boyutlu örnekleme - Multidimensional sampling

Olarak dijital sinyal işleme , çok-boyutlu bir örnekleme bir bir fonksiyonu dönüştürme işlemidir boyutlu değişken nokta ayrı bir set üzerinde ölçülen fonksiyon değerleri ayrı bir koleksiyonu. Bu makale, ayrık bir nokta kafesi üzerindeki ölçümlerinden dalga sayısı ile sınırlı bir işlevi mükemmel bir şekilde yeniden yapılandırmak için koşullarla ilgili Petersen ve Middleton'a bağlı temel sonucu sunmaktadır . Petersen-Middleton teoremi olarak da bilinen bu sonuç, tek boyutlu bant sınırlı fonksiyonları yüksek boyutlu Öklid uzaylarına örneklemek için Nyquist-Shannon örnekleme teoreminin bir genellemesidir .

Özünde, Petersen-Middleton teoremi, kafesin yeterince iyi olması koşuluyla, dalga sayısıyla sınırlı bir fonksiyonun, sonsuz bir nokta kafesi üzerindeki değerlerinden mükemmel bir şekilde yeniden yapılandırılabileceğini gösterir. Teorem, kafes üzerinde mükemmel yeniden yapılanmanın mümkün olduğu koşullar sağlar.

Nyquist-Shannon örnekleme teoreminde olduğu gibi, bu teorem de herhangi bir gerçek dünya durumunun idealleştirilmesini varsayar, çünkü yalnızca sonsuz sayıda nokta üzerinden örneklenen fonksiyonlar için geçerlidir. İdealleştirilmiş model için mükemmel yeniden yapılandırma matematiksel olarak mümkündür, ancak pratikte çoğu zaman çok iyi olsa da, yalnızca gerçek dünya işlevleri ve örnekleme teknikleri için bir yaklaşımdır.

Ön bilgiler

Şekil 1: Altıgen bir örnekleme kafesi ve onun temel vektörleri v ₁ ve v ₂${\ displaystyle \ Lambda}$

Şekil 2: Şekil 1'deki kafese ve bunun u ₁ ve u ₂ temel vektörlerine karşılık gelen karşılıklı kafes (ölçeklendirilmemiş şekil). ${\ displaystyle \ Gama}$${\ displaystyle \ Lambda}$

Bir kavramı Bantsınırlı bir boyutta fonksiyonu daha yüksek boyutlarda bir dalga sayısı sınırlı fonksiyon kavramına genelleştirilebilir. Hatırlayın Fourier dönüşümü bir integre edilebilir fonksiyon üzerinde n- boyutlu Öklid alan olarak tanımlanmıştır: ${\ displaystyle f (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} (\ xi) = {\ mathcal {F}} (f) (\ xi) = \ int _ {\ Re ^ {n}} f (x) e ^ {- 2 \ pi i \ langle x, \ xi \ rangle} \, dx}$

burada X ve ξ olan n- boyutlu vektör ve bir iç çarpım vektörlerinin. Fonksiyonu bir dizi dalga sayısı sınırlı olduğu söylenir Fourier tatmin dönüşümü halinde için . ${\ displaystyle \ langle x, \ xi \ rangle}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ şapka {f}} (\ xi) = 0}$${\ displaystyle \ xi \ notin \ Omega}$

Benzer şekilde, tek boyutlu olarak eşit aralıklı örnekleme noktalarının konfigürasyonu, daha yüksek boyutlarda bir kafese genelleştirilebilir . Bir örgü nokta bir koleksiyon formunun { v ₁ , ..., v _{, n} } a, baz için . Ters örgü tekabül ile tanımlanır ${\ displaystyle \ Lambda \ alt küme \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda = \ sol \ {\ toplamı _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} v_ {i} \; | \; a_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ sağ \} }$${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Gama}$${\ displaystyle \ Lambda}$

${\ displaystyle \ Gamma = \ sol \ {\ toplamı _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} u_ {i} \; | \; a_ {i} \ in \ mathbb {Z} \ sağ \} }$

Vektörlerin tatmin etmek için seçildiği yer . Vektörleri Yani, eğer bir matrisin sütunları oluşturur ve bir matrisin sütun daha sonra, . İki boyutlu uzayda bir örnekleme kafesinin bir örneği, Şekil 1'de tasvir edilen altıgen bir kafestir . Karşılık gelen karşılıklı kafes Şekil 2'de gösterilmektedir . İki boyutlu bir kare kafenin karşılıklı kafesi , başka bir kare kafestir. Üç boyutlu uzayda, yüz merkezli kübik (FCC) kafesin karşılıklı kafesi, vücut merkezli bir kübik (BCC) kafestir. ${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle \ langle u_ {i}, v_ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle v_ {i}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle A = B ^ {- T}}$

Teoremi

Let anlamında olabildikleri bir kafes içinde ve karşılık gelen ters örgü. Petersen ve Middleton teoremi, bir kümeyle dalga sayısı sınırlı olan bir fonksiyonun ölçümlerinden tam olarak yeniden oluşturulabileceğini belirtir, ancak bu küme , kaydırma x'in tersinin sıfır olmayan herhangi bir elemanı olduğu kaydırılmış versiyonlarıyla örtüşmez. kafes . Başka bir deyişle, herkes için olması koşuluyla , ölçümlerinden tam olarak yeniden yapılandırılabilir . ${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Gama}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega \ alt küme \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Omega + x}$${\ displaystyle \ Gama}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle \ Omega \ cap \ {x + y: y \ in \ Omega \} = \ emptyset}$${\ displaystyle x \ in \ Gama \ setminus \ {0 \}}$

Yeniden yapılanma

Şekil 3: Dairesel bir diskle sınırlı iki boyutlu dalga sayısı fonksiyonunun altıgen örneklemesi ile elde edilen örneklenmiş spektrumun desteği . Mavi daire , orijinal dalga sayısı ile sınırlı alanın desteğini temsil eder ve yeşil daireler tekrarları temsil eder. Bu örnekte, spektral tekrarlar örtüşmez ve bu nedenle hiçbir örtüşme yoktur. Orijinal spektrum, örneklenmiş spektrumdan tam olarak geri kazanılabilir. ${\ displaystyle {\ şapka {f}} _ {s} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Genellestirilmis Poisson toplam formül yüksek boyutlara örnekleri, göstermek için kullanılabilir , fonksiyon kafes üzerine bir oluşturmak için yeterli olan periyodik toplamı fonksiyonunun . Sonuç: ${\ displaystyle \ {f (x): x \ in \ Lambda \}}$${\ displaystyle f (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Lambda}$${\ displaystyle {\ şapka {f}} (\ cdot)}$

${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ xi) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ sum _ {y \ in \ Gamma} {\ hat {f}} \ left (\ xi -y \ right) = \ sum _ {x \ in \ Lambda} | \ Lambda | f (x) \ e ^ {- i2 \ pi \ langle x, \ xi \ rangle},}$

( Eşitlik 1 )

burada { v ₁ , ..., v _n } vektörlerinin oluşturduğu paralel yüzlünün hacmini temsil eder . Bu periyodik fonksiyon genellikle örneklenmiş spektrum olarak adlandırılır ve daha yüksek boyutlarda ayrık zamanlı Fourier dönüşümünün (DTFT) analogu olarak yorumlanabilir . Orijinal dalga sayısı sınırlı spektrum sette destekleniyorsa , işlev karşılıklı kafes üzerindeki noktalarla kaydırılan periyodik tekrarlarda desteklenir . Petersen-Middleton teoreminin koşulları karşılanırsa, fonksiyon herkes için eşittir ve dolayısıyla orijinal alan örneklerden tam olarak yeniden oluşturulabilir. Bu durumda, yeniden yapılandırılan alan orijinal alanla eşleşir ve örnekler açısından şu şekilde ifade edilebilir: ${\ displaystyle | \ Lambda |}$${\ displaystyle {\ şapka {f}} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ şapka {f}} _ {s} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ Gama}$${\ displaystyle {\ hat {f}} _ {s} (\ xi)}$${\ displaystyle {\ şapka {f}} (\ xi)}$${\ displaystyle \ xi \ in \ Omega}$

${\ displaystyle f (x) = \ toplamı _ {y \ içinde \ Lambda} | \ Lambda | f (y) {\ kontrol {\ chi}} _ {\ Omega} (yx)}$ ,

( Eşitlik 2 )

kümenin karakteristik fonksiyonunun ters Fourier dönüşümü nerede . Bu enterpolasyon formülü, Whittaker-Shannon enterpolasyon formülünün yüksek boyutlu eşdeğeridir . ${\ displaystyle {\ check {\ chi}} _ {\ Omega} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Örnek olarak bunun dairesel bir disk olduğunu varsayalım . Şekil 3 , Petersen-Middleton teoreminin koşullarının ne zaman karşılandığının desteğini göstermektedir . Spektral tekrarların örtüşmediğini ve dolayısıyla orijinal spektrumun tam olarak geri kazanılabileceğini görüyoruz. ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ şapka {f}} _ {s} (\ cdot)}$

Çıkarımlar

Aliasing

Şekil 4: Dairesel bir diskle sınırlı iki boyutlu dalga sayısı fonksiyonunun altıgen örneklemesiyle elde edilen örneklenmiş spektrumun desteği . Bu örnekte, örnekleme kafesi yeterince ince değildir ve bu nedenle, örneklenen spektrumda diskler üst üste binmektedir. Bu nedenle, mavi çember ile temsil edilen spektrum , tekrarların (yeşil ile gösterilen) örtüşmesi nedeniyle tam olarak geri kazanılamaz, böylece örtüşmeye yol açar. ${\ displaystyle {\ şapka {f}} _ {s} (\ cdot)}$${\ displaystyle \ Omega}$

Şekil 5: Moiré deseni biçiminde mekansal örtüşme .

Şekil 6: Doğru örneklenmiş tuğla duvar görüntüsü.

Teorem, örneklenenlerin mükemmel bir şekilde yeniden yapılandırılması için örnekleme kafeslerine koşullar verir. Kafesler Petersen-Middleton koşulunu karşılayacak kadar ince değilse, o zaman alan genel olarak örneklerden tam olarak yeniden oluşturulamaz. Bu durumda numunelerin takma ad olabileceğini söylüyoruz . Yine, dairesel bir disk olan örneği düşünün . Petersen-Middleton koşulları geçerli değilse, örneklenmiş spektrumun desteği Şekil 4'te gösterildiği gibi olacaktır. Bu durumda spektral tekrarlar üst üste binerek rekonstrüksiyonda örtüşmeye yol açar. ${\ displaystyle \ Omega}$

Düşük çözünürlüklü görüntüleri inceleyerek basit bir örtüşme örneği elde edilebilir. Gri ölçekli bir görüntü, iki boyutlu uzayda bir işlev olarak yorumlanabilir. Bir örtüşme örneği, Şekil 5'teki tuğla desenlerinin görüntülerinde gösterilmektedir. Görüntü, örnekleme teoreminin koşulu karşılanmadığında örtüşme etkilerini göstermektedir. Piksel kafesi sahne için yeterince iyi değilse, elde edilen görüntüde Hareli desen görünümünün gösterdiği gibi örtüşme meydana gelir . Şekil 6'daki görüntü, sahnenin düzleştirilmiş bir versiyonu aynı kafesle örneklendiğinde elde edilir. Bu durumda teoremin koşulları karşılanır ve örtüşme olmaz.

Bauman Moskova Devlet Teknik Üniversitesi'nden SP Efimov, 1978 y. spektrum alanı için kısıtlamaları hafifletmek için bir yaklaşım buldu. N özdeş örnekleme kafeslerinin keyfi olarak birbirine kaydırıldığını düşündü. Optimal örnekleme, değişmiş versiyonlarının karşılıklı kafes üzerinde N kez yakın paketlenmiş olduğu spektrum alanı için geçerlidir. Bu nedenle, halka, bir yerine bir dizi altıgen ile örtüşebilir. JWST teleskop dizisi 18 altıgenden oluşur. Dizi sinyalinin 2-d Fourier dönüşümü için 18 kaydırılmış kafes üzerinde örnekleme mümkündür (yani, yayılan sinyal için).

Optimal örnekleme kafesleri

Dalga sayısı sınırlı alanlar için bir örnekleme şeması tasarlamanın ilgi konusu olan nesnelerden biri, minimum örnekleme yoğunluğuna, yani birim uzaysal hacim başına örnekleme noktalarının yoğunluğuna yol açan noktaların konfigürasyonunu belirlemektir . Tipik olarak, ölçümleri alma ve saklama maliyeti, kullanılan örnekleme yoğunluğu ile orantılıdır. Genellikle pratikte, iki boyutlu alanları örneklemenin doğal yaklaşımı, onu dikdörtgen bir kafes üzerindeki noktalardan örneklemektir . Ancak, örnekleme yoğunluğu açısından bu her zaman ideal seçim değildir. Petersen ve Middleton teoremi, belirli bir küme ile dalga sayısıyla sınırlı olan örnekleme alanları için en uygun kafesi tanımlamak için kullanılabilir . Örneğin, minimum uzamsal yoğunluğa sahip, alanların dalga sayısı ile sınırlı bir dairesel diskle sınırlı alanların mükemmel bir şekilde yeniden yapılandırılmasına izin veren kafesin altıgen kafes olduğu gösterilebilir. Sonuç olarak, içindeki izotropik alanları örneklemek için altıgen kafesler tercih edilir . ${\ displaystyle \ Re ^ {n}}$${\ displaystyle \ Omega \ alt küme \ Re ^ {d}}$${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$${\ displaystyle \ Re ^ {2}}$

Optimal örnekleme kafesleri daha yüksek boyutlarda incelenmiştir. Genel olarak, optimum küre paketleme kafesleri, düzgün stokastik süreçleri örneklemek için idealdir; optimum küre kaplama kafesleri ise kaba stokastik süreçleri örneklemek için idealdir.

Optimal kafesler genel olarak ayrılamaz olduğundan, enterpolasyon ve yeniden yapılandırma filtreleri tasarlamak, tensör olmayan (yani, ayrılamayan) filtre tasarım mekanizmalarını gerektirir. Kutu spline'lar , her bir kafes için geometrik olarak uyarlanabilen bu tür ayrılmaz rekonstrüksiyon FIR filtrelerinin tasarlanması için esnek bir çerçeve sağlar . Hex-spline'lar, 2-B altıgen kafesler için B-spline'ların genelleştirmesidir . Benzer şekilde, 3-D ve daha yüksek boyutlarda, Voronoi eğrileri , optimum kafesler dahil herhangi bir kafes için geometrik olarak uyarlanmış ayrılmaz FIR filtrelerini tasarlamak için kullanılabilen B-spline'ların bir genellemesini sağlar .

Optimal kafeslere genelleştirilmiş ideal alçak geçiren filtrelerin (yani, sinc fonksiyonları) açık bir şekilde yapılandırılması, bu kafeslerin ( zonotoplar olan) Brillouin bölgelerinin (yani yukarıda) geometrik özelliklerini inceleyerek mümkündür . Bu yaklaşım, optimal örnekleme kafesleri dahil olmak üzere genel kafesler için kapalı formda açık bir temsil sağlar . Bu yapı, Lanczos filtresinin en iyi kafesler için 1- D'deki çok boyutlu ayara genelleştirilmesini sağlar . ${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ check {\ chi}} _ {\ Omega} (\ cdot)}$

Uygulamalar

Petersen-Middleton teoremi, sismik araştırmalar, çevre izleme ve uzaysal ses alanı ölçümleri gibi uzamsal olayların ölçümünü içeren uygulamalarda verimli sensör yerleştirme stratejileri tasarlamada yararlıdır.

Referanslar