Hipokrat Lune - Lune of Hippocrates
İn geometrisi , Hipokrates'in lune adını, Sakız Hipokrates , a, lune'ait çapı olarak daha büyük bir daire üzerinde bir dik açı kapsayan bir kiriş sahip daha küçük olan iki çevrelerin yay, ile sınırlanır. Aynı şekilde, bir 180 derecelik dairesel yay ve bir 90 derecelik dairesel yay ile sınırlanmış, dışbükey olmayan bir düzlem bölgesidir. Kesin alanı matematiksel olarak hesaplanan ilk eğri figürdü.
Tarih
Hipokrat , dairenin karesini alma klasik problemini , yani belirli bir daire ile aynı alana sahip olan bir cetvel ve pusula kullanarak bir kare inşa etme problemini çözmek istedi . Şekilde E ve F etiketli yaylarla sınırlanan lune'un ABO üçgeniyle aynı alana sahip olduğunu kanıtladı . Bu, çember-kare problemini çözmek için biraz umut verdi, çünkü lune sadece çember yaylarıyla sınırlandı. Heath , sonucunu kanıtlarken , bir dairenin alanının çapının karesiyle orantılı olduğunu kanıtlayan ilk kişinin Hipokrat olduğu sonucuna varır .
Hipokrat'ın geometri kitabı hangi bu sonuç görünür, Elementler , kesildi, ama modeli oluşmuş olabilir Öklid 'in Elements . Hipokrat'ın kanıtı yoluyla korundu Geometri Tarihi derlediği Rodos Eudemus da hayatta değil, fakat hangi bölümünden alınmıştır Kilikya saf kişiliği üzerine yaptığı yorumunda Aristoteles 'in Physics .
Değil 1882 yılına kadar olan Ferdinand von Lindemann 's kanıtı aşkınlık içinde tt , imkansız olduğunu kanıtladı daireyi kareye oldu.
Kanıt
Hipokrat'ın sonucu şu şekilde ispatlanabilir: Yay AEB'nin üzerinde bulunduğu çemberin merkezi, ABO ikizkenar dik üçgeninin hipotenüsünün orta noktası olan D noktasıdır . Bu nedenle, çap AC büyük dairenin ABC olan √ 2 küçük bir daire ile yay arasında çapının AEB yatar. Sonuç olarak, daha küçük daire, daha büyük dairenin yarı alanına sahiptir ve bu nedenle, çeyrek daire AFBOA, yarım daire AEBDA'ya eşittir. Hilal şeklindeki AFBDA alanını çeyrek daireden çıkarmak ABO üçgenini verir ve aynı hilali yarım daireden çıkarmak lune verir. Üçgen ve lune, eşit alandan eşit alanların çıkarılmasıyla oluşturulduğundan, alan olarak kendileri eşittir.
Genellemeler
Yukarıdakine benzer bir kanıtı kullanarak, Arap matematikçi Hasan Ibn el-Haytham (Latince adı Alhazen , c. 965 - c. 1040) , dış sınırları yarım daire olan bir dik üçgenin iki yanında oluşan iki lün olduğunu gösterdi. ve bunun iç sınırları ile oluşturulmaktadır circumcircle üçgenin, toplanır, bu iki Lunes alanları üçgenin alanına eşittir. Dik üçgenden bu şekilde oluşan lunes Alhazen lunes olarak bilinir . Hipokrat lune karesi, ikizkenar dik üçgen için bu sonucun özel halidir .
20. yüzyılın ortalarında, iki Rus matematikçi, Nikolai Chebotaryov ve öğrencisi Anatoly Dorodnov, pusula ve cetvel ile inşa edilebilen ve belirli bir kareye eşit alana sahip olan tepeleri tamamen sınıflandırdılar. Tüm bu tür lunes, kendi daireleri üzerindeki iç ve dış yayların oluşturduğu iki açı ile belirlenebilir; bu gösterimde, örneğin, Hipokrat'ın ışıltısı iç ve dış açılara (90 °, 180 °) sahip olacaktır. Hipokrat, açıları yaklaşık olarak (107,2 °, 160,9 °) ve (68,5 °, 205,6 °) olan iki tane daha kare şeklinde içbükey lunes buldu. Yaklaşık (46.9 °, 234.4 °) ve (100.8 °, 168.0 °) açılara sahip iki kare daha içbükey lün, 1766'da Martin Johan Wallenius ve yine 1840'da Thomas Clausen tarafından bulundu . Chebotaryov ve Dorodnov'un gösterdiği gibi, bu beş çift açı, tek inşa edilebilir karesel lunes verir; özellikle inşa edilebilir kare biçimli dışbükey yumrular yoktur.