Diferansiyel-cebirsel denklem sistemi - Differential-algebraic system of equations

Diferansiyel denklemler
Bir engel etrafındaki hava akışını simüle etmek için kullanılan Navier-Stokes diferansiyel denklemleri
Dürbün Doğa Bilimleri Mühendislik Astronomi Fizik Kimya Biyoloji jeoloji Uygulamalı matematik Süreklilik mekaniği Kaos teorisi dinamik sistemler Sosyal Bilimler ekonomi Nüfus dinamikleri
sınıflandırma
Türler Sıradan Kısmi diferansiyel-cebirsel integral diferansiyel kesirli Doğrusal doğrusal olmayan Değişken türüne göre Bağımlı ve bağımsız değişkenler özerk karmaşık Birleştirilmiş / Ayrılmış tam Homojen  / Homojen olmayan Özellikleri Sipariş Şebeke gösterim
Süreçlerle ilişkisi Fark (ayrık analog) stokastik Stokastik kısmi gecikme
Çözüm
Varlık ve benzersizlik Picard-Lindelöf teoremi Peano varlığı teoremi Carathéodory'nin varlık teoremi Cauchy-Kowalevski teoremi
Genel başlıklar Wronskiyen Faz portresi Faz boşluğu Lyapunov  / Asimptotik  / Üstel kararlılık yakınsama oranı Seri  / İntegral çözümler Sayısal entegrasyon Dirac delta işlevi
Çözüm yöntemleri muayene özelliklerin yöntemi Euler Üstel yanıt formülü Sonlu fark  ( Crank–Nicolson ) Sonlu elemanlar sonsuz eleman sonlu hacim Galerkin Petrov-Galerkin entegre etme faktörü integral dönüşümler Pertürbasyon teorisi Runge-Kuta Değişkenlerin ayrılması belirsiz katsayılar Parametrelerin varyasyonu
İnsanlar Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy john krank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta
v t e

Gelen matematik bir denklem ayırıcı cebirsel sistemi ( Daes ) a, denklemler sistemi ya içeren diferansiyel denklemler ve cebirsel denklemler , ya da bu tür bir sisteme denktir. (Sistemlerin) genel formu Bu gibi sistemler ortaya diferansiyel denklemler vektör değerli fonksiyonlar için x bir bağımsız değişken olarak t ,

${\displaystyle F({\dot {x}}(t),\,x(t),\,t)=0}$

nerede bağımlı değişkenlerin bir vektörü ve sistemin birçok denklemi var, . Bunlar ayrı olan sıradan diferansiyel denklem bir DAE fonksiyonu tüm bileşenlerinin türevlerini tamamen çözülebilir olmadığı için yine de (ODE) x , bu hiç görünmeyebilir için (yani, bir denklemler cebirsel olarak); Teknik [açık hale getirilebilir] örtülü bir ODE sistemi ve DAE sistemi arasındaki fark olduğunu jakobiyen matris a, tekil matris bir DAE sistemi. ODE'ler ve DAE'ler arasındaki bu ayrım, DAE'lerin farklı özelliklere sahip olması ve genellikle çözülmesi daha zor olması nedeniyle yapılmıştır. ${\displaystyle x:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))}$${\displaystyle F=(F_{1},\dots ,F_{n}):\mathbb {R} ^{2n+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {\kısmi F(u,v,t)}{\kısmi u}}}$

Pratik açıdan, DAE'ler ve ODE'ler arasındaki ayrım, genellikle bir DAE sisteminin çözümünün, ODE'lerde olduğu gibi yalnızca sinyalin kendisine değil, giriş sinyalinin türevlerine bağlı olmasıdır; bu sorunla Schmitt tetikleyicisi gibi histerezisli sistemlerde yaygın olarak karşılaşılır .

Sistem, x yerine bir çift bağımlı değişken vektörü düşünülecek şekilde yeniden yazılabilirse bu fark daha açık bir şekilde görülebilir ve DAE şu şekildedir: ${\görüntüleme stili (x,y)}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t) ),t).\end{hizalanmış}}}$

nerede , , ve${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.}$

Bu formun bir DAE sistemine yarı açık denir . Denklemin ikinci yarısı g'nin her çözümü , denklemlerin ilk yarısı f yoluyla x için benzersiz bir yön tanımlarken , y için yön keyfidir. Ancak her (x,y,t) noktası g'nin bir çözümü değildir . Değişkenler x ve ilk yarı f denklemlerin nitelik olsun diferansiyeli . y'nin bileşenleri ve denklemlerin ikinci yarısı g'ye sistemin cebirsel değişkenleri veya denklemleri denir . [Terimi cebirsel Daes bağlamında sadece anlamına türevlerinin serbest ve (özet) cebire ile ilgili değildir.]

Bir DAE'nin çözümü, ilki tutarlı başlangıç ​​değerlerinin aranması ve ikincisi bir yörüngenin hesaplanması olmak üzere iki bölümden oluşur. Tutarlı başlangıç ​​değerleri bulmak için genellikle DAE'nin bazı bileşen fonksiyonlarının türevlerini dikkate almak gerekir. Bu işlem için gerekli olan en yüksek türev derecesine farklılaşma indeksi denir . İndeks ve tutarlı başlangıç ​​değerlerinin hesaplanmasında türetilen denklemler, yörüngenin hesaplanmasında da kullanılabilir. Yarı açık bir DAE sistemi, farklılaşma indeksini bir azaltarak örtük olana dönüştürülebilir ve bunun tersi de geçerlidir.

DAE'lerin diğer biçimleri

DAE'lerin ODE'lere ayrımı, bazı bağımlı değişkenlerin türevleri olmadan ortaya çıkması durumunda ortaya çıkar. Bağımlı değişkenlerin vektörü daha sonra çift olarak yazılabilir ve DAE'nin diferansiyel denklem sistemi şu şekilde görünür: ${\görüntüleme stili (x,y)}$

${\displaystyle F\sol({\dot {x}},x,y,t\sağ)=0}$

nerede

• ${\görüntüleme stili x}$, bir vektör , türevleri bulunan bağımlı değişkenlerdir ( diferansiyel değişkenler ),${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\görüntüleme stili y}$, içinde bir vektör , türevi olmayan bağımlı değişkenlerdir ( cebirsel değişkenler ),${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ${\görüntüleme stili t}$, bir skaler (genellikle zaman) bağımsız bir değişkendir.
• ${\görüntüleme stili F}$bu değişkenlerin ve türevlerin alt kümelerini içeren bir fonksiyon vektörüdür .${\görüntüleme stili n+m}$${\displaystyle n+m+1}$${\görüntüleme stili n}$

Bir bütün olarak, DAE'ler kümesi bir fonksiyondur.

${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.}$

Başlangıç ​​koşulları, formun denklem sisteminin bir çözümü olmalıdır.

${\displaystyle F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.}$

Örnekler

Kartezyen koordinatlarda ( x , y ) merkezi (0,0) olan L uzunluğundaki bir sarkacın davranışı Euler-Lagrange denklemleriyle tanımlanır.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\ nokta {v}}&=\lambda yg,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{hizalı}}}$

nerede bir olan Lagrange çarpanı . Momentum değişkenleri u ve v , enerjinin korunumu yasasıyla sınırlandırılmalı ve yönleri daire boyunca işaret etmelidir. Bu denklemlerde hiçbir koşul açık değildir. Son denklemin türevi aşağıdakilere yol açar: ${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle {\begin{hizalı}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end {hizalı}}}$

hareket yönünü çemberin tanjantı ile sınırlandırır. Bu denklemin bir sonraki türevi şu anlama gelir:

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y }}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^ {2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}}$

ve bu son özdeşliğin türevi basitleşir ki bu da dolaylı olarak enerjinin korunumunu ima eder, çünkü entegrasyondan sonra sabit kinetik ve potansiyel enerjinin toplamıdır. ${\displaystyle L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0}$${\displaystyle E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2 }+v^{2})+gy}$

Tüm bağımlı değişkenler için benzersiz türev değerleri elde etmek için son denklem üç kez türevlendi. Bu, kısıtlı mekanik sistemler için tipik olan 3'lük bir farklılaşma indeksi verir.

Başlangıç ​​değerleri ve y için bir işaret verilirse, diğer değişkenler , ve if o zaman ve ile belirlenir . Bir sonraki noktaya geçmek için x ve u'nun türevlerini almak yeterlidir , yani çözülecek sistem şimdi ${\displaystyle (x_{0},u_{0})}$${\displaystyle y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}}$${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle v=-ux/y}$${\displaystyle \lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y ^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{ hizalı}}}$

Bu, indeks 1'in yarı açık bir DAE'sidir. Bir başka benzer denklemler kümesi, x için bir işaretten başlayarak elde edilebilir . ${\görüntüleme stili (y_{0},v_{0})}$

DAE'ler ayrıca doğrusal olmayan cihazlarla devrelerin modellenmesinde de doğal olarak ortaya çıkar. DAE'leri kullanan modifiye düğüm analizi , örneğin her yerde bulunan SPICE sayısal devre simülatörleri ailesinde kullanılır . Benzer şekilde, Fraunhofer en Analog Insydes Mathematica paket türet Daes için kullanılabilir netlistine ve sonra basitleştirmek ve hatta bazı durumlarda sembolik denklemleri çözmek. (Bir devrenin) bir DAE dizin kapasitörler yoluyla bağlanması / kademelendirmenin olarak çok yüksek yapılabilir kayda değerdir operasyonel yükselticiler ile pozitif geri besleme .

Dizin 1'in yarı açık DAE'si

formun DAE'si

${\displaystyle {\begin{hizalı}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{hizalı}}}$

yarı açık denir. Göstergesi-1 özellik gerektirir g olan çözülebilir için y . Başka bir deyişle, t örtük bir ODE sistemi için cebirsel denklemlerin türevlenmesiyle farklılaşma indeksi 1'dir ,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x} }+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{hizalı}}}$

için çözülebilir olduğu takdirde${\displaystyle ({\dot {x}},\,{\dot {y}})}$${\displaystyle \det \sol(\partial _{y}g(x,y,t)\sağ)\neq 0.}$

Yeterince düzgün olan her DAE hemen hemen her yerde bu yarı açık indeks-1 formuna indirgenebilir.

DAE'nin sayısal olarak işlenmesi ve uygulamaları

DAE'lerin çözümünde iki ana sorun, indeks azaltma ve tutarlı başlangıç ​​koşullarıdır . Çoğu sayısal çözücü , formun adi diferansiyel denklemlerini ve cebirsel denklemlerini gerektirir .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right) .\end{hizalanmış}}}$

Saf ODE çözücüler tarafından çözüm için keyfi DAE sistemlerini ODE'lere dönüştürmek önemsiz bir görevdir. Kullanılabilecek teknikler arasında Pantelides algoritması ve kukla türev indeks indirgeme yöntemi bulunmaktadır . Alternatif olarak, tutarsız başlangıç ​​koşullarına sahip yüksek endeksli DAE'lerin doğrudan çözümü de mümkündür. Bu çözüm yaklaşımı, türev elemanlarının sonlu elemanlar üzerinde ortogonal eşdizimlilik veya cebirsel ifadelere doğrudan transkripsiyon yoluyla dönüştürülmesini içerir . Bu, herhangi bir indeksin DAE'lerinin açık denklem formunda yeniden düzenlenmeden çözülmesine izin verir.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\sağ),\\0&=g\left(x,y,t\sağ) ).\end{hizalanmış}}}$

Model cebirsel denklem formuna dönüştürüldüğünde, büyük ölçekli doğrusal olmayan programlama çözücüleri tarafından çözülebilir (bkz. APMonitor ).

izlenebilirlik

Farklılaşma indeksi , pertürbasyon indeksi , izlenebilirlik indeksi , geometrik indeks ve Kronecker indeksi gibi sayısal yöntemler açısından DAE'lerin izlenebilirliğinin çeşitli ölçüleri geliştirilmiştir .

DAE'ler için yapısal analiz

Bir DAE'yi analiz etmek için - yöntemini kullanırız. DAE için her satırın her denkleme ve her sütunun her değişkene karşılık geldiği bir imza matrisi oluşturuyoruz . Pozisyonda giriş olan türevinin, kendisi için en sırasını ifade eder ki, meydana gelen , ya da , eğer yok oluşmaz . ${\görüntüleme stili \Sigma }$${\displaystyle \Sigma =(\sigma _{i,j})}$${\displaystyle f_{i}}$${\görüntüleme stili x_{j}}$${\görüntüleme stili (i,j)}$${\görüntüleme stili \sigma _{i,j}}$${\görüntüleme stili x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$${\görüntüleme stili -\infty }$${\görüntüleme stili x_{j}}$${\displaystyle f_{i}}$

Yukarıdaki sarkaç DAE için değişkenler . Karşılık gelen imza matrisi ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )}$

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\ \-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}}$

Ayrıca bakınız

• Cebirsel diferansiyel denklem , benzer isme rağmen farklı bir kavram
• Gecikme diferansiyel denklemi
• Kısmi diferansiyel cebirsel denklem
• Modelika Dili

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations