Komple önlem - Complete measure

Gelen matematik bir tam ölçüsü (ya da daha kesin bir ifadeyle, bir tam ölçüm aralığı ) a nın ölçüm aralığı her hangi bir alt kümesi , her bir boş grubu (sahip ölçülebilir ölçü sıfır ). Daha teorik bir ölçü uzayı ( X , Σ,  μ ) tamamlandıktan ve ancak eğer

${\ Displaystyle S \ subseteq \ Sigma {N \ \ mbox {ve}} \ u (n) = 0 \ \ Sigma Rightarrow \ S \. \}$

Motivasyon

tamlığı soruları dikkate almak gerek ürün alanlarının sorununu dikkate alarak gösterilebilir.

Daha önce yapılmış olduğunu varsayalım Lebesgue ölçümünü ilgili gerçek hattı (bu tedbir alanı belirtir R ,  B ,  λ ). Şimdi bazı iki boyutlu Lebesgue ölçüm oluşturmak isteyen X ² düzlemi üzerindeki R ² bir şekilde ürün ölçüsü . Bunu için, biz alacağını σ cebiri ile R ² için B  ⊗  B , küçük σ tüm ölçülebilir "dikdörtgenler" içeren cebiri bir ₁  ×  bir ₂ için bir _i  ∈  B .

Bu yaklaşım tanımlamak yok iken önlem alan , bir kusur vardır. Her yana tekil grubu tek boyutlu Lebesgue ölçümünü sıfırdır,

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} (\ {0 \} \ kere A) = \ lambda (\ {0 \}) \ cdot \ lambda (A) = 0}$

"Herhangi bir" alt küme için A ve R . Bununla birlikte, bu varsayalım bir a, olmayan ölçülebilir bir alt kümesi olarak, gerçek hattının, Vitali grubu . Daha sonra λ ² {0} × sayılmış  A tanımlanmamıştır, ama

${\ Displaystyle \ {0 \} \ kere A \ subseteq \ {0 \} \ kez \ mathbb {R}}$

ve bu büyük set var λ ² sayılmış sıfır. Yani, sadece tanımlandığı gibi bu "iki boyutlu Lebesgue ölçümü" tam değildir ve tamamlama prosedürü çeşit gereklidir.

Tam bir önlemin İnşaat

(Muhtemelen tamamlanmamış) ölçüsü alanı (Verilen X , Σ,  μ ) bir uzantısı vardır ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ tamamlanmıştır) Bu tedbirin alanı. Küçük, örneğin uzantı (yani en küçük σ cebiri Σ ₀ ) olarak adlandırılır tamamlama ölçüm uzay.

aşağıdaki şekilde tamamlanması inşa edilebilir:

• izin Z, sıfır tüm alt-kümesi u arasında sayılmış alt kümesi , X (sezgisel, bu elemanlar Z Σ zaten değildir doğru tutarak eksiksiz önlenmesi olanlar);
• Σ izin ₀ olması σ cebiri Σ tarafından üretilen Z (yani en küçük σ Σ ve her eleman içeren cebiri Z );
• μ Σ için bir uzantı vardır ₀ (eğer benzersiz olan μ olan σ -finite ) olarak adlandırılan dış ölçüler arasında u tarafından verilen, infimum

${\ Displaystyle \ u _ {0} (C). = \ İnf \ {\ u (D) | Cı \ subseteq D \ \ Sigma \}}$

Daha sonra, ( X , Σ ₀ ,  μ ₀ ), tam bir ölçüm aralığı olan ve tamamlanmasıdır ( X , a,  μ ).

Yukarıdaki yapıda Σ her üyesi olduğu gösterilebilir ₀ formu olan bir  ∪  B bazıları için bir  ∈ Σ ve bazı B  ∈  Z ve

${Mu (A) '\ \ displaystyle \ u _ {0} (A \ kap B) =.}$

Örnekler

• Borel ölçüsü Borel tanımlandığı şekilde σ tarafından üretilen cebiri açık aralıklarda gerçek hattının tam değildir ve bu nedenle yukarıdaki tamamlama prosedürü tamamlandıktan Lebesgue ölçümünü belirlemek için kullanılmalıdır. Bu, tüm Borel kümesi reals üzerinde setleri reals aynı önem düzeyi olan gerçeği ile gösterilmektedir. İken Cantor Kümesi bir Borel kümesi, ölçü sıfır sahiptir ve kuvvet kümesi reals daha sıkı büyük önem düzeyi vardır. Böylece ayarlar Borel içinde yer almayan Cantor kümesinin bir alt kümesi vardır. Bu nedenle, Borel ölçüsü tam değildir.
• N boyutlu Lebesgue ölçümü tamamlanmasıdır n kendisi ile tek boyutlu Lebesgue alanı kat ürünü. Bu tek boyutlu olduğu gibi, aynı zamanda Borel ölçü tamamlanmasıdır.

Özellikleri

Maharam teoremi her komple önlem alan üzerinde bir ölçüye ayrışabilir olduğunu belirten süreklilik ve sonlu ya da sayılabilir sayma ölçüsü .

Referanslar

• Terekhin, AP (2001) [1994], "Komple ölçü" de, Hazewinkel, Michiel , Matematik Ansiklopedisi , Springer BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-55608-010-4