Cebirsel olarak kapalı alan - Algebraically closed field

Gelen matematik bir alan F olduğu cebirsel kapalı her ise sabit olmayan polinom olarak F [ X ] (tek değişkenli polinom halka katsayılı F ), en azından kök olarak F .

Örnekler

Örnek olarak, gerçek sayılar alanı cebirsel olarak kapalı değildir, çünkü x 2  + 1 = 0 polinom denkleminin tüm katsayıları (1 ve 0) gerçek olmasına rağmen reel sayılarda çözümü yoktur. Aynı argüman, gerçek alanın hiçbir alt alanının cebirsel olarak kapalı olmadığını kanıtlar; özellikle rasyonel sayılar alanı cebirsel olarak kapalı değildir. Ayrıca, hiçbir sonlu F alanı cebirsel olarak kapalı değildir, çünkü a 1 , a 2 , ..., a n F'nin elemanları ise , o zaman polinom ( x  −  a 1 )( x  −  a 2 ) ⋯ ( x  −  a n )+1'in F'de sıfırı yoktur . Buna karşılık, cebirin temel teoremi , karmaşık sayılar alanının cebirsel olarak kapalı olduğunu belirtir . Cebirsel olarak kapalı bir alana başka bir örnek, (karmaşık) cebirsel sayıların alanıdır .

eşdeğer özellikler

Bir F alanı verildiğinde , " F cebirsel olarak kapalıdır" iddiası diğer iddialara eşdeğerdir:

Tek indirgenemez polinomlar birinci dereceden polinomlardır.

Alan F cebirsel kapalıdır, ancak ve ancak sadece asal polinomlar olarak polinom halka F : [ X ] derece bir olanlardır.

"Birinci dereceden polinomlar indirgenemez" iddiası herhangi bir alan için önemsiz derecede doğrudur. Eğer F cebirsel olarak kapanır ve p ( x ) bir indirgenemez polinom F [ X ], o zaman bir kök sahip a ve bu nedenle P ( x ) 'in bir katı olan x  -  bir . Yana p ( x ) indirgenemez bu araçlarının p ( x ) =  K ( X  -  bir ), bazıları için k  ∈  F  \ {0}. Öte yandan, E cebirsel kapatılmamış, o zaman, bazı sabit olmayan polinom vardır p ( x olarak) F : [ X ] in köksüz F . Let q ( X ) bazı indirgenemez faktörü p ( x ). Yana p ( x ) herhangi bir kökleri F , q ( X ) de herhangi bir kökleri F . Bu nedenle, her birinci derece polinomun F'de bir kökü olduğundan , q ( x ) birden büyük dereceye sahiptir .

Her polinom, birinci dereceden polinomların bir ürünüdür.

Alan F cebirsel kapalıdır, ancak ve ancak, her polinom p ( x derecesi) n  ile ≥ 1, katsayılar olarak F , doğrusal faktörleri içine böler . Başka bir deyişle, F alanının kx 1x 2 , ...,  x n öğeleri vardır, öyle ki p ( x ) =  k ( x  −  x 1 )( x  −  x 2 ) ⋯ ( x  −  x n ).

Eğer F bu özelliği, daha sonra açıkça olmayan her sabit polinomu vardır F [ x ] bazı kökü vardır F ; başka bir deyişle, F cebirsel olarak kapalıdır. Öte yandan, burada belirtilen özellik için tuttuğu F eğer F cebirsel kapalı olduğu herhangi bir alan için, gerçeği ile birlikte önceki özelliğinden izler K , herhangi bir polinom K [ x ] indirgenemez polinomların bir ürünü olarak yazılabilir .

Asal dereceli polinomların kökleri vardır

Üzerinde her polinom ise F asal derece bir kökü vardır F , daha sonra olmayan her sabit polinom bir kök vardır F . Ve üzerinde her polinom yalnızca eğer bir saha cebirsel kapalı olduğunu izler F asal derece bir kökü vardır F .

Alanın uygun bir cebirsel uzantısı yok

F alanı , ancak ve ancak uygun cebirsel uzantısı yoksa cebirsel olarak kapalıdır .

Eğer F herhangi bir uygun cebirsel uzantısına sahiptir, izin p ( x ) 'de bir indirgenemez polinom F [ X ]. Daha sonra bölüm arasında F [ X ] ölçkeli yere tarafından üretilen p ( x ) bir cebirsel uzantısıdır F derece derecesine eşittir p ( x ). Uygun bir uzama olmadığı için derecesi 1'dir ve dolayısıyla p ( x )'in derecesi de 1'dir.

Öte yandan, F'nin uygun bir cebirsel uzantısı K varsa , o zaman K  \  F'deki bir elemanın minimal polinomu indirgenemez ve derecesi 1'den büyüktür.

Alanın uygun bir sonlu uzantısı yok

Alan F ve hiçbir doğru olan tek eğer cebirsel kapalı olduğu sonlu uzantısı içinde, çünkü eğer önceki kanıtı , dönem "cebirsel uzantısı" terimi "sonlu" uzantısının ile değiştirilir, bunun bir kanıtı hala geçerlidir. (Sonlu uzantıların mutlaka cebirsel olduğuna dikkat edin.)

F n'nin her endomorfizminin bir özvektörü vardır.

Alan F cebirsel her doğal sayı için, ancak ve ancak kapalıdır n , her doğrusal haritası dan F n bazılarına sahiptir kendisi içine özvektörünü .

F n'nin bir endomorfizmi , ancak ve ancak karakteristik polinomunun bir kökü varsa, bir özvektöre sahiptir. Bu nedenle, F cebirsel olarak kapalı olduğunda , F n'nin her endomorfizminin bir özvektörü vardır. Öte yandan, F n'nin her endomorfizminin bir özvektörü varsa, p ( x ) F [ x ]' in bir elemanı olsun . Öncü katsayısına bölerek, ancak ve ancak p ( x ) kökleri varsa kökleri olan başka bir q ( x ) polinomu elde ederiz . Ancak q ( x ) =  x n  +  a n  − 1 x n  − 1 + ⋯ +  a 0 ise , q ( x ) n×n eşlik matrisinin karakteristik polinomudur

Rasyonel ifadelerin ayrıştırılması

Alan F cebirsel kapalı olduğu durumda ise, her yalnızca rasyonel fonksiyon bir değişken olarak , x katsayılı, F , rasyonel şekilde fonksiyonları ile bir polinom fonksiyonu toplamı olarak yazılabilir , bir / ( x  -  b ) N , N bir doğal sayıdır ve a ve b , F'nin elemanlarıdır .

Eğer F cebirsel indirgenemez polinomlar, çünkü daha sonra kapatılır, F [ X ], yukarıda belirtilen özelliği ile tutar, 1. derece tümü kısmi kesir ayrışması teoremi .

Öte yandan, yukarıda belirtilen özelliğin F alanı için geçerli olduğunu varsayalım . Let p ( x ) 'de bir indirgenemez eleman F [ X ]. O halde rasyonel fonksiyon 1/ p , bir polinom fonksiyonu q ile a /( x  −  b ) n şeklindeki rasyonel fonksiyonların toplamı olarak yazılabilir . Bu nedenle rasyonel ifade

paydasının birinci dereceden polinomların bir ürünü olduğu iki polinomun bir bölümü olarak yazılabilir. Yana p ( x ) indirgenemez, bu nedenle, aynı zamanda, bir birinci derece polinom olmalıdır, bu ürün bölünür ve gerekmektedir.

Göreceli olarak asal polinomlar ve kökler

Herhangi bir F alanı için , eğer iki polinom p ( x ), q ( x ) ∈  F [ x ] görece asal ise, o zaman ortak bir kökleri yoktur, çünkü eğer a  ∈  F ortak bir kök ise, o zaman  p ( x ) ve   q ( x ) her iki katları olacak x  -  a ve bu yüzden aralarında asal olmaz. Ters çıkarımın geçerli olduğu alanlar (yani, iki polinomun ortak bir kökü olmadığında görece asal oldukları alanlar) kesinlikle cebirsel olarak kapalı alanlardır.

Eğer alan F cebirsel kapatılır izin p ( x ) ve q ( X göreceli asal olmayan iki polinomları olabilir) ve izin R ( x kendi olabilir) büyük ortak bölen . O zaman, r ( x ) sabit olmadığı için, o zaman p ( x ) ve q ( x ) ortak bir kökü olacak olan bir a köküne sahip olacaktır .

Eğer F cebirsel kapatılmamış, izin p ( x ) için belirgin ve derecesi olan en az 1 kökleri olmayan bir polinom. O halde p ( x ) ve p ( x ) göreceli olarak asal değildir, ancak ortak kökleri yoktur (çünkü hiçbirinin kökleri yoktur).

Diğer özellikler

Eğer E bir cebirsel olarak kapalı bir alandır ve N , bir doğal sayıdır, daha sonra F tümünü içeren n , bu (tanımı gereği), çünkü birlik kökleri inci n (zorunlu olarak belirgin değildir) polinom sıfır x n  1. Bir alan uzantı - birliğin kökleri tarafından üretilen bir uzantıda bulunan bir siklotomik uzantıdır ve birliğin tüm kökleri tarafından üretilen bir alanın uzantısı bazen onun siklotomik kapanması olarak adlandırılır . Böylece cebirsel olarak kapalı alanlar siklotomik olarak kapalıdır. Bunun tersi doğru değil. x n  -  a formundaki her polinomun lineer faktörlere ayrıldığını varsaymak bile alanın cebirsel olarak kapalı olduğunu garanti etmek için yeterli değildir.

Birinci mertebeden mantık dilinde ifade edilebilen bir önerme , cebirsel olarak kapalı bir alan için doğruysa, aynı özelliğe sahip cebirsel olarak kapalı her alan için doğrudur . Ayrıca, eğer böyle bir önerme, 0 karakteristiğine sahip cebirsel olarak kapalı bir alan için geçerliyse, o zaman sadece 0 karakteristiğine sahip tüm diğer cebirsel olarak kapalı alanlar için geçerli olmakla kalmaz, aynı zamanda bir doğal sayı N vardır, öyle ki, önerme her cebirsel olarak kapalı için geçerlidir. karakteristik saha  p s  >  N .

Her F alanı cebirsel olarak kapalı bir uzantıya sahiptir. Böyle bir uzantıya cebirsel olarak kapalı bir uzantı denir . Tüm bu uzantılar arasında bir ve yalnızca tek bir (vardır isomorphism kadar değil, özgün izomorfizm bir olan) cebirsel uzantısı arasında F ; denir cebirsel kapanış ait F .

Cebirsel olarak kapalı alanlar teorisi niceleyici eliminasyonuna sahiptir .

Notlar

Referanslar

  • Barwise, Jon (1978). "Birinci dereceden mantığa giriş". Barwise'da Jon (ed.). Matematiksel Mantık El Kitabı . Mantık Çalışmaları ve Matematiğin Temelleri. Kuzey Hollanda. ISBN'si 0-7204-2285-X.
  • Lang, Serge (2002). cebir . Matematikte Lisansüstü Metinler . 211 (gözden geçirilmiş üçüncü baskı). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN'si 978-0-387-95385-4. MR  1878556 .
  • Gemici, Yusuf (2007). "Cebir temel teoreminin iyileştirilmesi". Matematiksel Zeka . 29 (4): 9–14. doi : 10.1007/BF02986170 . ISSN  0343-6993 .
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003). cebir . ben (7. baskı). Springer-Verlag. ISBN'si 0-387-40624-7.