Akustik teori , ses dalgalarının tanımıyla ilgili bilimsel bir alandır . Akışkanlar dinamiğinden türemiştir . Mühendislik yaklaşımı için akustiğe bakın .
Hız, basınç ve yoğunlukta herhangi bir büyüklükteki ses dalgaları için
Hız, yoğunluk ve basınçtaki dalgalanmaların küçük olması durumunda bunları şu şekilde tahmin edebiliriz:
Akışkanın bozulan hızı nerede , hareketsiz haldeki akışkanın basıncı, uzay ve zamanın bir fonksiyonu olarak sistemin bozulan basıncı , hareketsiz haldeki akışkanın yoğunluğu ve yoğunluğundaki varyans nerededir? uzay ve zaman üzerinde sıvı.
Hız olması durumunda potansiyel olmayan ( ), o zaman sistem tarif akustik dalga denklemi vardır:
bizde nerede
Durgun bir ortam için türetme
Süreklilik Denklemi ve Euler Denklemi ile başlayarak:
Sabit basınç ve yoğunluktaki küçük bozulmaları alırsak:
Daha sonra sistemin denklemleri
Denge basınçlarının ve yoğunluklarının sabit olduğu dikkate alındığında, bu,
Hareketli Ortam
ile başlayan
Tüm sıvının bozulmadan önce hareket ettiği sabit hızın (hareket eden bir gözlemciye eşdeğer) ve sıvı hızının nerede olduğunu ayarlayarak bu denklemlerin hareketli bir ortam için çalışmasını sağlayabiliriz .
Bu durumda denklemler çok benzer görünür:
Ayarın durgun denklemleri döndürdüğünü unutmayın .
Doğrusallaştırılmış Dalgalar
Durgun bir ortam için yukarıda verilen hareket denklemlerinden başlayarak:
Şimdi hepsini küçük miktarlar olarak alalım .
Terimleri birinci dereceden tutmamız durumunda, süreklilik denklemi için 0'a giden terim var. Bu benzer şekilde yoğunluk pertürbasyonu çarpı hızın zamana göre türevi için de geçerlidir. Ayrıca, malzeme türevinin uzamsal bileşenleri 0'a gider. Böylece, denge yoğunluğunu yeniden düzenlediğimizde:
Daha sonra, ses dalgamızın ideal bir akışkanda meydana geldiği göz önüne alındığında, hareket adyabatiktir ve bu durumda basınçtaki küçük değişikliği yoğunluktaki küçük değişiklikle şu şekilde ilişkilendirebiliriz:
Bu koşul altında, şimdi sahip olduğumuzu görüyoruz.
Sistemin ses hızının belirlenmesi:
her şey olur
Dönmeyen Sıvılar İçin
Akışkan çevrisiz Bu durumda olduğunu , biz o zaman yazabiliriz ve böylece olarak hareket eden denklemlerini yazma
İkinci denklem bize şunu söylüyor:
Ve bu denklemin süreklilik denkleminde kullanılması bize şunu söyler:
Bu basitleştirir
Böylece hız potansiyeli , küçük bozulmalar sınırında dalga denklemine uyar. Potansiyeli çözmek için gereken sınır koşulları, akışkanın hızının sistemin sabit yüzeylerine 0 normal olması gerektiği gerçeğinden gelir.
Bu dalga denkleminin zamana göre türevini alıp tüm tarafları bozulmamış yoğunlukla çarpmak ve sonra bize şunu söyleyen
gerçeği kullanmak
Aynı şekilde şunu da gördük . Böylece yukarıdaki denklemi uygun şekilde çarpabilir ve görebiliriz ki
Böylece hız potansiyeli, basınç ve yoğunluğun tümü dalga denklemine uyar. Ayrıca, diğer üçünü de belirlemek için böyle bir denklemi çözmemiz yeterlidir. Özellikle, sahip olduğumuz
Hareketli bir ortam için
Yine, hareketli bir ortamdaki ses dalgaları için küçük bozulma sınırını türetebiliriz. Yine, başlayarak
Bunları lineerleştirebiliriz
Hareketli Bir Ortamda Dönmeyen Akışkanlar İçin
Bunu gördüğümüze göre
Akışkanın ideal olduğu ve hızın irrotasyonel olmadığı konusunda önceki varsayımları yaparsak,
Bu varsayımlar altında, doğrusallaştırılmış ses denklemlerimiz
Daha da önemlisi, bir sabit olduğu için elimizde , var ve sonra ikinci denklem bize şunu söylüyor:
Ya da sadece
Şimdi, bu bağıntıyı , terimleri iptal etme ve yeniden düzenlemenin yanı sıra,
Bunu tanıdık bir biçimde şöyle yazabiliriz:
Bu diferansiyel denklem, uygun sınır koşulları ile çözülmelidir. Ayarın bize dalga denklemini döndürdüğünü unutmayın . Ne olursa olsun, bu denklemi hareketli bir ortam için çözdükten sonra,
Ayrıca bakınız
Referanslar